koordinatengleichung in param. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Fr 17.12.2004 | | Autor: | nova |
hallo,
kann mir jemand mal für "ganz dumme" erklären wie man eine koordinatengleichung in parameterform umwandelt?
danke!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo nova
Also nehmen wir mal an du hast die Koordinatengleichung [mm] x_{1}-4x_{2}+2x_{3}=20
[/mm]
Nun wählst du einfach [mm] x_{2}=r \in\IR [/mm] und [mm] x_{3}=s \in\IR
[/mm]
Daraus folgt [mm] x_{1}=20+4r-2s
[/mm]
Der allgemeine Lösungsvektor ist also:
[mm] \vec{x}= \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3}}= \vektor{20+4r-2s \\ r \\ s}
[/mm]
Daraus folgt [mm] E:\vec{x}= \vektor{20 \\ 0 \\ 0}+r \vektor{4 \\ 1 \\ 0}+s \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich hoffe du hast meine Erklärung verstanden. Wenn nicht , schreib mir wo du nicht weiter weißt!
Gruß Fabian
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Wieso kann man denn die Variablen einfach als x1 bzw. x2 setzen?
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> Wieso kann man denn die Variablen einfach als x1 bzw. x2
> setzen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier die Koordinatengleichung
> $ [mm] x_{1}-4x_{2}+2x_{3}=20 [/mm] $
Das ist eine Gleichung mit drei Variablen.
Egal, wie Du [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] wählst, Du findest immer ein [mm] x_1, [/mm] welches zu den beiden paßt, so daß die Gleichung stimmt, denn Du brauchst ja nur [mm] x_1=20+4x_2-3x_3 [/mm] zu nehmen.
Wählst Du also für [mm] x_3 [/mm] irgendein beliebiges [mm] \lambda [/mm] und für [mm] x_2 [/mm] irgendein beliebiges [mm] \mu,
[/mm]
so ist
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{20+4\mu-3\lambda \\ \mu\\ \lambda} [/mm] eine Lösung der Gleichung, probier's aus, setz' es ein.
Dies kannst Du nun noch ein wenig sortieren:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{20+4\mu-3\lambda \\ \mu\\ \lambda}=\vektor{20 \\ 0\\ 0}+\lambda\vektor{-3 \\ 0\\ 1}+\mu\vektor{4\\ 1\\0}.
[/mm]
Da steht sie, die Parameterform!
Andere Möglichkeit: aus [mm] x_1=20+4x_2-3x_3 [/mm] gewinnst Du drei Punkte, die auf der Ebene liegen, und hieraus machst Du Dir dann die Parameterfom.
Gruß v. Angela
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Dankeschön für die Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 17.12.2004 | | Autor: | nova |
Dankeschön erstmal!
Ich kann also für [mm] \lambda [/mm] oder/und [mm] \mu [/mm] einfach die Zahl 1 einsetzen, da sie Element der rationalen Zahlen ist?Gut, wohr kommen jetzt die Einsen in den Richtungsvektoren?Das kenne ich bisher nur von der xy-Ebene...
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Ok nova
Ich schreib dir den allgemeinen Lösungsvektor mal etwas genauer hin
[mm] \vec{x}= \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}= \vektor{20+4r-2s \\ 0+1r+0s \\ 0+0r+1s}
[/mm]
Du darfst nicht für r und s 1 einsetzen , sondern mußt r und s ausklammern!
Ich hoffe du hast meine Erklärung jetzt verstanden. 
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 So 19.12.2004 | | Autor: | dominik |
Nehmen wir die selbe Gleichung an: [mm] x_{1}-4x_{2}+2x_{3}=20
[/mm]
Nun brauchen wir in dieser Ebene lediglich irgend drei Punkte zu wählen. Setzen wir jeweils zwei Koordinaten gleich Null, lässt sich der dritte Wert im Kopf ausrechnen:
A(0/0/10), B(0/-5/0), C(20/0/0)
Mit diesen Punkten bilden wir zwei Richtungsvektoren, zum Beispiel:
[mm] \overrightarrow{BA}= \vektor{0 \\ 5\\ 10}=5 \vektor{0\\ 1\\ 2}, [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC}= \vektor{20 \\ 0\\ -10}=10 \vektor{2\\ 0\\ -1}.
[/mm]
Als Stützvektor wählen wir einen Ortsvektor zu einem der drei Punkte, zB:
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 10}. [/mm] Damit ist eine mögliche Gleichung der Ebene bestimmt:
[mm] \vec{r}=\vektor{0 \\ 0\\ 10}+u\vektor{0\\ 1\\ 2}+v\vektor{2\\ 0\\ -1}
[/mm]
Die Ebene hat eine einzige (gekürzte) Koordinatengleichung, aber unendlich viele (verschiedene) Parametergleichungen.
Viele Grüsse!
dominik
> hallo,
> kann mir jemand mal für "ganz dumme" erklären wie man eine
> koordinatengleichung in parameterform umwandelt?
> danke!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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