kopplung von Markowketten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Fr 27.06.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich befasse mich gerade mit der Kopplung von Markowketten. Leider habe ich hier wirklich einige Verständnisprobleme:
Es wird eine Markowkette mit Zuständen in [mm] \{E_1, ..., E_n \}^2 [/mm] betrachtet,
[mm] Y_n [/mm] = [mm] (X_n, X_n') [/mm] Startpunkt ist (i,j) , [mm] X_n [/mm] repräsentiert die Kette zu P mit Start in i und [mm] X_n' [/mm] die mit Start in j
ich kann mir leider nichts unter dem Kreuzprodukt des Zustandraumes vorstellen und verstehe daher leider auch nicht was dann der Startpunkt (i,j) ist ????!!!!!
hat vielleicht jemand eine Biespiel dazu ich habe versucht eines zu finden war aber leider nicht erfolgreich.
vielen Dank für eure Bemühungen
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Wenn es nur um die Anschauung geht: Man könnte die beiden Teil-Markowketten X, X' ja auch getrennt betrachten, wenn man zum Beispiel mit einem Rechner eine Monte-Carlo-Simulation machen würde. Anschließend würde man dann die beiden an jedem ausgewerteten Punkt zu einem Paar zusammenfassen.
Weniger anschaulich: Y ist selbst eine Markowkette, allerdings im Produktraum. Der ist genauso zu definieren wie etwa der Raum [mm]\IN \times \IN[/mm]: Er besteht aus der Menge aller Wertepaare. Das heißt:
[mm]\{E_1, \dots, E_n\}^2 = \{(E_1, E_1), \dots, (E_1, E_n), (E_2, E_1), \dots, (E_n, E_n)\}[/mm]
Man kann dann eine neue Übergangsmatrix bestimmen, die entsprechend [mm] n^2 [/mm] viele Einträge in jeder Zeile bzw. Spalte hat - insgesamt also [mm] n^4. [/mm] Start in (i,j) meint vermutlich Start in [mm] (E_i, E_j), [/mm] wobei E - vermute ich mal - für Elementarereignis steht. Etwas unglückliche Wahl, wenn man nochmal mit Erwartungswerten zu tun bekommt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 27.06.2008 | | Autor: | vivo |
vielen dank für deine antwort,
> Start in (i,j) meint
> vermutlich Start in [mm](E_i, E_j),[/mm]
aber was ist [mm](E_i, E_j),[/mm] dann ich mein [mm] E_i [/mm] ist ein Ereignis aus dem Zustandsraum und [mm] E_j [/mm] ebenfalls aber was ist dann [mm](E_i, E_j),[/mm]
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Machen wir ein einfaches Beispiel: Denken wir uns eine Folge von Würfelwürfen als Markowkette X. Das Ereignis [mm] E_i [/mm] ist dann, dass der Würfel die Zahl i anzeigt. Ist 'ne zeimliche triviale Markowkette, da die einzelnen Würfe natürlich unabhängig und gleichverteilt sind. Die Übergangsmatrix hat dann überall den Eintrag [mm]\bruch{1}{6}[/mm].
Denken wir uns einen zweiten Würfel dazu. Dann können wir immer mit beiden Würfeln werfen und haben zwei Markowketten X und X'. Wir können die beiden Ergebnisse dann als Paar zusammenfassen: Nehmen wir an der erste Würfel zeigt eine 2 und der zweite eine 4. Zusammengefasst ergibt das das Paar (2, 4). Das wäre dann unser Y. Der Produktraum umfasst dann alle möglichen Kombinationen von 2 Würfeln (36).
Die Übergangsmatrix für Y muss also in jeder Spalte bzw. Zeile 36 Einträge haben. Da alle Paarungen gleichwahrscheinlich sind, ist jeder Eintrag dort [mm]\bruch{1}{36}[/mm].
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Fr 27.06.2008 | | Autor: | vivo |
ah ok vielen dank das hab ich soweit verstanden,
jetzt heißt es weiter:
die Übergangswahrscheinlichkeiten von [mm] Y_n [/mm] sind
[mm] P_{(i,k),(k,l)} [/mm] = [mm] P_{(i,k)}, [/mm] für i=j k=l
[mm] P_{(i,k)}P_{(j,l)} [/mm] für [mm] i\not= [/mm] j
0 sonst
also wenn wir z.B im Ereignis [mm] (E_2,E_2) [/mm] sind ist die Ü.W. zum z.B Ereignis [mm] (E_4,E_4) P_{2,4} [/mm]
wenn wir in einem Ereignis sind wo i=j aber k=l ist, ist P = 0
wenn wir in z.B in [mm] (E_2, E_3) [/mm] sind ist die Ü.W. nach [mm] (E_5,E_6) [/mm] gleich [mm] P_{2,5}P_{3,6}
[/mm]
ok soweit klar nun zwei probleme:
1: die Matrix hat jetzt [mm] n^2 [/mm] Einträge nur wo stehen welche? denn mit einfachem Zustandsraum waren die Ü.W. ja von Zustand mit Nr. der Zeile zum Zustand mit Nr. der Spalte, dass heißt ich müsste jetzt jedem der [mm] n^2 [/mm] Zustände eine Nr. verpassen, ist die Reihenfolge wichtig?
2: in meinem Text steht, offensichtlich gilt [mm] Y_n \in [/mm] Diag -> [mm] Y_{n+l} \in [/mm] Diag und es heißt auf der Diagonale machen beide Komponenten den gleichen Sprünge und [mm] Y_n [/mm] soll für große n die Diagonale erreichen, was steht jetzt auf der Diagonale und warum wird diese nicht mehr verlassen?
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 29.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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