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Hallo
Ich hab folgendes Problem
v=v(l,t)
Dann lautet die instationäre Verallgemeinerung der Bewegungsgleichung
[mm] \bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}}=0
[/mm]
jetzt soll integriert werden über l bei festgehaltener Zeit t zwischen [mm] l=l_{1} [/mm] und [mm] l=l_{2}
[/mm]
also
[mm] \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{(\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}})dl}
[/mm]
Ergebniss soll das sein
[mm] \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}dl}+\bruch{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}+\bruch{p_{2}-p_{1}}{\rho}+(z_{2}-z_{1})g
[/mm]
so jetzt zu meinem Problem mit gegebenen Funktionen ist das Integrieren ja kein Problem aber bei so allgemeinen Integrieren hab ich leichte Probleme
[mm] \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{(\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}})dl}
[/mm]
nehmen wir mal das zweite Integral
[mm] \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}
[/mm]
integrier ich das jetzt ganz normal mit der Formel für partielle Integration??
[mm] \integral_{}^{}{x'y dl}=x*y-\integral_{}^{}{x*y' dl}
[/mm]
[mm] x'=\bruch{\partial{v}}{\partial{l}} [/mm] y=v
x=v [mm] y'=\bruch{dv}{dl}
[/mm]
[mm] \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=v^{2}-\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{dv}{dl}dl}
[/mm]
jetzt kürzen sich die dl weg und es bleibt v dv über wenn ich jetzt das Integral auswerte hab ich [mm] v^{2}-\bruch{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}
[/mm]
wie integriert man hier korrekt?
Bitte um Aufklärung
Dankel
lg Stevo
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Hallo stevarino,
> Hallo
>
> Ich hab folgendes Problem
> v=v(l,t)
>
> Dann lautet die instationäre Verallgemeinerung der
> Bewegungsgleichung
>
> [mm]\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}}=0[/mm]
>
> jetzt soll integriert werden über l bei festgehaltener Zeit
> t zwischen [mm]l=l_{1}[/mm] und [mm]l=l_{2}[/mm]
>
> also
> [mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{(\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}})dl}[/mm]
>
> Ergebniss soll das sein
>
> [mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}dl}+\bruch{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}+\bruch{p_{2}-p_{1}}{\rho}+(z_{2}-z_{1})g[/mm]
>
> so jetzt zu meinem Problem mit gegebenen Funktionen ist das
> Integrieren ja kein Problem aber bei so allgemeinen
> Integrieren hab ich leichte Probleme
>
> [mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{(\bruch{\partial{v}}{\partial{t}}+v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}+\bruch{1}{\rho}\bruch{\partial{p}}{\partial{l}}+g\bruch{\partial{z}}{\partial{l}})dl}[/mm]
>
> nehmen wir mal das zweite Integral
> [mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}[/mm]
>
> integrier ich das jetzt ganz normal mit der Formel für
> partielle Integration??
Ja, das hier möglich.
Hier führt auch die Substitutionsmethode zum Ziel.
> [mm]\integral_{}^{}{x'y dl}=x*y-\integral_{}^{}{x*y' dl}[/mm]
>
> [mm]x'=\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}[/mm] y=v
> x=v
> [mm]y'=\bruch{dv}{dl}[/mm]
>
> [mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=v^{2}-\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{dv}{dl}dl}[/mm]
> jetzt kürzen sich die dl weg und es bleibt v dv über wenn
> ich jetzt das Integral auswerte hab ich
> [mm]v^{2}-\bruch{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2}[/mm]
> wie integriert man hier korrekt?
Die Anwendung der partiellen Integration ist schon korrekt, aber das mit dem kürzen nicht.
[mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=\left[v^{2}\right]_{l_{1}}^{l_{2}}-\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{dv}{dl}dl}[/mm]
Auf der rechten Seite taucht auch das links stehende Integral auf:
[mm]\blue{\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}}=\left[v^{2}\right]_{l_{1}}^{l_{2}}-\blue{\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{dv}{dl}dl}}[/mm]
Das ergibt dann:
[mm]2*\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=\left [v^{2}\right]_{l_{1}}^{l_{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow \integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=\bruch{1}{2}\left[v^{2}\right]_{l_{1}}^{l_{2}}[/mm]
Das liefert das gewünschte Ergebnis.
>
> Bitte um Aufklärung
>
> Dankel
>
> lg Stevo
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower
Das mit links und rechts gleiches Integral und dann durch 2 Teilen so wollt ichs am anfang machen , was mich aber daran etwas gestört hat war das es auf einer Seite partiell und auf der anderen das "normale " Integral.
Warum darf ich die hier gleichsetzen?
lg stevo
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Hallo Stevo,
> Hallo MathePower
>
> Das mit links und rechts gleiches Integral und dann durch 2
> Teilen so wollt ichs am anfang machen , was mich aber daran
> etwas gestört hat war das es auf einer Seite partiell und
> auf der anderen das "normale " Integral.
> Warum darf ich die hier gleichsetzen?
Da muss auch die partielle Ableitung stehen, da v von l und t abhängt:
[mm]\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\partial{v}}{\partial{l}}dl}=\left[v^{2}\right]_{l_{1}}^{l_{2}}-\integral_{l_{1}}^{l_{2}}{v\bruch{\blue{\partial }v}{\blue{\partial} l}dl} [/mm]
>
> lg stevo
Gruß
MathePower
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