krit.Punkte / Tangentialebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 So 06.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo möchte hier mal etwas überprüfen lassen bei folgender Aufgabe:
Die Funktion f sei gegeben durch
f: [mm] \IR^{2} \to\IR [/mm] : [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \mapsto x_{1}^{3} [/mm] + [mm] x_{2}^{3} [/mm] + [mm] 3x_{1}x_{2}
[/mm]
a) Man bestimme alle [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] mit grad [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = 0
hier bekomme ich die Punkte [mm] P_{1}(0/0) [/mm] und [mm] P_{2}(-1/-1) [/mm] aber bin mir hier nicht sicher bekomme negatives unter der Wurzel! Was bekommt den jemand anders für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] ?
b) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den Graphen
[mm] {(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2})) || (x_{1},x_{2}) = 5 } [/mm] von f im Punkt (1,1,f(1,1))?
Hier komme ich auf die Ebenengleichung:
[mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = 6x + 6y -1z -7
kann das stimmen ?
bitte um Kontrolle! wäre super nett!!
lg Surfer
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Hallo
> a) Man bestimme alle [mm](x_{1},x_{2})[/mm] mit grad [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm]
> = 0
>
> hier bekomme ich die Punkte [mm]P_{1}(0/0)[/mm] und [mm]P_{2}(-1/-1)[/mm]
> aber bin mir hier nicht sicher bekomme negatives unter der
> Wurzel! Was bekommt den jemand anders für [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] ?
Dasselbe.
Die negative Zahl (-1) unter der Wurzel ist aber kein großes Problem.
Es gibt noch mehr Lösungen der Gleichung, die interessieren aber nicht, da sie nicht reell sind.
> b) Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene an den
> Graphen
> [mm]{(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2})) || (x_{1},x_{2}) = 5 }[/mm] von f
> im Punkt (1,1,f(1,1))?
>
> Hier komme ich auf die Ebenengleichung:
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = 6x + 6y -1z -7
>
> kann das stimmen ?
>
Du meinst wohl das Richtige.
f ist doch deine Funktion.
Du sagst also, die funktion ist identisch 6x+6y-z-7.
Das ist nicht der fall!
Es ist E: 0=6x+6y-z-7.
Das sollte so stimmen.
Gruß
Andrè
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 So 06.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok danke,
zu der Aufgabe habe ich aber noch zwei andere Fragen mit denen ich nicht ganz durchstarte:
c) In welche Richtung wird ein Ball auf dem graphen von f rollen, wenn man ihn im Punkt (1,1,5) loslässt?
und d) Man bestimme die Tangente an die Höhenlinie
[mm] {(x_{1},x_{2})\in\IR^{2} | f(x_{1},x_{2}) = 5} [/mm] im Punkt (1,1) ?
was muss ich bei diesen beiden teilaufgaben machen?
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Kann mir das hier wirklich keiner erklären? Wieso bekomm ich dann so eine Aufgabe vorgelegt, wenn es mir keiner beantworten kann?
lg Surfer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:23 Mo 07.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufgabe gehört ja wohl zu ner Vorlesung, frag die warum dus nicht kannst, nicht uns! Un d du bekommst sie, damit du daran denken lernst und die Inhalte der Vorlesung besser verstehst!
Wenn du nen Ball irgendwo auf ne krumme Fläche legst, in welcher Richtung läuft er los? was für ne Eigenschaft hat gradf an ner Stelle?
b) weisst du was ne Höhenlinie ist? ne Linie in der x-y- Ebene, über der die fkt z=f(x,y) überall gleich hoch ist. oder ein waagerechter Schnitt durch den Berg!
Warum kannst du keine Tangente dran legen? Was zeigt der grad relativ zu den Höhenlinien?
Die Aufgabe ist dazu da, dass du mit solchen fkt. und grad umgehen lernst. Also versuch dir erstmal grad zu veranschaulichen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Naja wenn ich es wüsste und es in der Vorlesung besprochen worden wäre, dann müsste ich bestimmt nicht mehr hier fragen! Deshalb gibt es ja schließlich Matheforen, aber wenn hier keiner mehr helfen will dann könnte man sowas ja abschaffen..hmmm?
lg Surfer
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> Naja wenn ich es wüsste und es in der Vorlesung besprochen
> worden wäre, dann müsste ich bestimmt nicht mehr hier
> fragen! Deshalb gibt es ja schließlich Matheforen, aber
> wenn hier keiner mehr helfen will dann könnte man sowas ja
> abschaffen..hmmm?
>
> lg Surfer
Hallo Surfer,
dein Ton ist nicht ganz angemessen. Denk daran:
1.) viele haben jetzt Ferien
2.) um die Mitternachtszeit pflegen auch einige Matheraum-Mitglieder zu schlafen
3.) du erhältst eher Antworten, wenn du nett klingst
So, zu deinen Fragen:
Die Gleichung [mm] z=f(x,y)=x^3+y^3+3xy [/mm] (ich hasse die Schreibweise mit all den Nümmerchen...  )
stellt eine gekrümmte Fläche - nennen wir sie F - dar.
Du hast schon ihre Tangentialebene; ich nenne sie T: z=6x+6y-7,
welche die Fläche F im Punkt P(1/1/5) berührt. In einer kleinen
Umgebung von P darf man die (krumme) Fläche F durch die (flache!)
Fläche T ersetzen und macht dabei nur einen verschwindend kleinen
Fehler. T gibt also an, wie die Fläche F im Punkt P geneigt ist,
und mit T ist es einfacher zu rechnen als mit F.
Wenn du in P einen Ball loslässt, rollt er natürlich auf dem
kürzest möglichen Weg ("Falllinie") abwärts. Der Vektor
grad f zeigt genau in die entgegengesetzte Richtung, hangaufwärts.
Die Höhenlinie auf F ist vergleichbar mit einem Wanderweg, der
auf konstanter Meereshöhe durch das Gelände führt. Ihm entlang
gibt es zwar Kurven, aber keinerlei An- oder Abstieg. In der
Umgebung von P kann man die Höhenlinie von F durch die
Höhenlinie von T ersetzen. Dies ist die gesuchte Tangente.
Nun mach dir dazu mal eine Skizze und nimm deine Kenntnisse
aus der Vektorgeometrie, um die gestellten Fragen zu beantworten.
Tschüss !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, vielen dank für deine Antwort,!
d.h ich muss für die teilaufgabe den grad von T berechnen oder ?
was auf grad T(x,y) =(6 / 6) führen würde!
und bei der Höhenlinien aufgabe muss ich doch eigentlich f(x,y) = 5 setzten und ?ist mir noch nicht ganz klar!
lg Surfer
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> Hi, vielen dank für deine Antwort,!
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> d.h ich muss für die teilaufgabe den grad von T berechnen
> oder ?
> was auf grad T(x,y) =(6 / 6) führen würde! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
.... und der Ball rollt in die umgekehrte Richtung,
also in Richtung des Vektors (-1/-1) (gekürzt,
weil es nur um die Richtung geht)
(ich merke noch, dass ich da etwas nicht ganz korrekt erklärt
habe: der Vektor grad f zeigt eigentlich nicht (in [mm] \IR^3)
[/mm]
"hangaufwärts", kann er gar nicht, weil er nur eine x- und
eine y-Komponente hat. Er zeigt quasi "auf der Landkarte"
an, in welche Richtung es bergauf geht. Sein Betrag ist ein
Mass für die Steigung)
Soll die Richtung des rollenden Balls wirklich auch "in 3-D"
angegeben werden im Sinne eines hangabwärts gerichteten
Tangentialvektors an die Fläche F im Punkt P(1/1/5), so
wäre dies der Vektor [m]\vektor{-1\\-1\\-12}[/m]
> und bei der Höhenlinien aufgabe muss ich doch eigentlich
> f(x,y) = 5 setzten und ?ist mir noch nicht ganz klar!
Da kannst du jetzt statt der Funktion f eben die lineare
Ersatzfunktion T(x,y)=6x+6y-7 nehmen und gleich 5
setzen: 6x+6y-7=5 oder x+y=2. Dies ist die Gleichung
der Tangente an die Höhenlinie "auf der Landkarte", also
in der x-y-Ebene.
Falls aber die Gleichung der Tangente im Raum [mm] \IR^3 [/mm] gefragt
ist - in meinem Bild also die Tangente an den "Wanderweg" im
Punkt P(1/1/5), so wäre dies die Schnittgerade der beiden
Ebenen E1: x+y=2 und E2:z=5. Man kann für diese
Gerade im Raum auch eine Parameterdarstellung angeben:
t: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\1\\5}+t*\vektor{1\\-1\\0}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
wie kommst du denn auf die -12 als dritter anteil des vektors?
bzw wie kommst du auf den Richtungsvektor der Ebene?
lg Surfer und dank efür deine Hilfe
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> wie kommst du denn auf die -12 als dritter anteil des
> vektors?
Wenn ich mich (auf der Tangentialebene !) von [m]\ P(1/1/5)[/m] aus um
-1 in x-Richtung und um -1 in y-Richtung bewege, so komme ich
zum Punkt [mm] Q_T(0/0/?), [/mm] dem Schnittpunkt von T mit der z-Achse.
Wie weit habe ich mich also in z-Richtung bewegt ?
Natürlich ist das ein wesentlich anderes Ergebnis als das was ich
erhalte, wenn ich auf der Fläche F abwärts gehe. Dann käme ich
zum Punkt [m]\ Q_F(0/0/f(0/0)) = (0/0/0)[/m] und hätte mich in z-Richtung
nur um -5 bewegt. Auf diese Distanz ist also die Tangentialebene
eine unbrauchbare Approximation. Versuch' aber einmal folgendes
Beispiel: geh von [m]\ P(1/1/1)[/m] zum Punkt [m]\ Q_T(0.999/0.999/ ?) \in T[/m]
bzw. zu [m]\ Q_F(0.999/0.999/?)\in F[/m] und vergleiche die Ergebnisse.
Damit wären wir dann beim Thema "Richtungsableitung".
> bzw wie kommst du auf den Richtungsvektor der Ebene?
du meinst den Richtungsvektor der Tangente ?
Die Gerade x+y=2 (in der x-y-Ebene!) hat den Normalenvektor [mm] \vektor{1\\1}
[/mm]
drehe den um 90° !
oder: bilde das Vektorprodukt der Normalenvektoren der
beiden Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] (siehe früheres posting)
lg
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