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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die kritische Punkte von f(x,y)= [mm] xy^2-x^2y+x^3-x [/mm] und deren Typ. |
servus
partielle Ableitungen:
[mm] f_x [/mm] = [mm] y^2-2xy+3x^2-1
[/mm]
[mm] f_y [/mm] = [mm] 2yx-x^2 [/mm] = x(2y-x)
f_xy=f_yx= -2x+2y
f_xx= -2y+6x
f_yy=2x
für die Notwendige Bedingung muss der Gradient = 0 sein.
dh. x(2y-x)=0
und [mm] y^2-2xy+3x^2-1 [/mm] =0
da dies nur möglich ist für x=0 und y=0 haben wir zwei Fälle.
1.Fall x=0
[mm] y^2-1=0
[/mm]
y=+-1
2.Fall y=0
[mm] 3x^2-1=0
[/mm]
x=+- [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
Mögliche Extrema: (0/1) (0/-1) [mm] (\bruch{1}{\wurzel{3}}/0) (-\bruch{1}{\wurzel{3}}/0) [/mm] (0/0)
ist es okay bis hierhin?
Lg ellegance88
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Wie löse ich denn das GLS. ich muss doch gucken dass der Gradient=0 ist.
[mm] f_x= y^2-2xy+3x^2-1
[/mm]
[mm] f_y=2yx-x^2=x(2y-x)
[/mm]
wenn ich jetzt x=0 habe müsste ich denn diese 0 in die erste Gleichung einsetzen? sprich
[mm] y^2-1=0 [/mm] sodass y=+-1 ist? wie finde ich denn den zweiten Fall y= heraus?
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> Wie löse ich denn das GLS. ich muss doch gucken dass der
> Gradient=0 ist.
>
> [mm]f_x= y^2-2xy+3x^2-1[/mm]
>
> [mm]f_y=2yx-x^2=x(2y-x)[/mm]
>
> wenn ich jetzt x=0 habe müsste ich denn diese 0 in die
> erste Gleichung einsetzen? sprich
>
> [mm]y^2-1=0[/mm] sodass y=+-1 ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja. Du hast also mal zwei zu untersuchende Punkte.
> wie finde ich denn den zweiten
> Fall y= heraus?
Aus der Gleichung [mm] f_y=0 [/mm] , also $\ x*(2y-x)=0$
ergibt sich ja, dass x=0 oder 2y-x=0 gelten muss.
Den ersten Fall haben wir gerade erledigt, bleibt
also die Möglichkeit mit 2y-x=0 oder x=2y . Geh
damit in die Gleichung [mm] f_x=0 [/mm] und löse die ent-
stehende Gleichung auf. Wieder ergeben sich
zwei mögliche Punkte.
Im nächsten Schritt kommt dann die Untersuchung
der Hesse-Matrix in diesen insgesamt 4 Punkten.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die kritische Punkte von f(x,y)=
> [mm]xy^2-x^2y+x^3-x[/mm] und deren Typ.
> servus
>
> partielle Ableitungen:
>
> [mm]f_x[/mm] = [mm]y^2-2xy+3x^2-1[/mm]
>
> [mm]f_y[/mm] = [mm]2yx-x^2[/mm] = x(2y-x)
>
> f_xy=f_yx= -2x+2y
>
> f_xx= -2y+6x
>
> f_yy=2x
>
> für die Notwendige Bedingung muss der Gradient = 0 sein.
>
> dh. x(2y-x)=0
> und [mm]y^2-2xy+3x^2-1[/mm] =0
>
> da dies nur möglich ist für x=0 und y=0 haben wir zwei
> Fälle.
Das ist doch Unsinn - Überleg doch mal was dann in der zweiten Gleichung steht: -1 = 0 ????
[mm] 2xy-x^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{x}{2}[/mm] für x [mm] \neq [/mm] 0. Für x = 0 entsteht ein neuer Fall.
Nun setze ein
Gruß Thomas
>
> 1.Fall x=0
> [mm]y^2-1=0[/mm]
> y=+-1
>
> 2.Fall y=0
> [mm]3x^2-1=0[/mm]
> x=+- [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
>
> Mögliche Extrema: (0/1) (0/-1) [mm](\bruch{1}{\wurzel{3}}/0) (-\bruch{1}{\wurzel{3}}/0)[/mm]
> (0/0)
>
> ist es okay bis hierhin?
>
>
> Lg ellegance88
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also 1.Fall y= x halbe und 2.Fall x=0 sind diese beiden Fälle richtig? wenn ja.
1.Fall: y = [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x^2-x^2+3x^2-1=0
[/mm]
x= +- [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
2.Fall x=0
dann wird y=+-1 jetzt richtig?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 22.09.2013 | | Autor: | abakus |
> also 1.Fall y= x halbe und 2.Fall x=0 sind diese beiden
> Fälle richtig? wenn ja.
>
> 1.Fall: y = [mm]\bruch{x}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}x^2-x^2+3x^2-1=0[/mm]
>
> x= +- [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
... und damit [mm]y=\pm\bruch{1}{3}[/mm] .
>
> 2.Fall x=0
>
> dann wird y=+-1 jetzt richtig?
Warum fragst du? Mach doch einfach die Probe in beiden Gleichungen des Systems.
Gruß Abakus
>
> LG
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ok meine Probe hat geklappt also habe ich jetzt folgende mögliche Extremstellen: (0/1) (0/-1) [mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2}) (-\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2})
[/mm]
aber das scheint doch auch falsch zu sein...
LG
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Hallo ellegance88,
> ok meine Probe hat geklappt also habe ich jetzt folgende
> mögliche Extremstellen: (0/1) (0/-1)
> [mm](\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2}) (-\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2})[/mm]
>
Die ersten beiden Extremstellen sind richtig.
Bei den letzten beiden Extremstellen
stimmen die zugehörigen y-Werte nicht.
> aber das scheint doch auch falsch zu sein...
>
> LG
Gruss
MathePower
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Hallo,
> ok meine Probe hat geklappt also habe ich jetzt folgende
> mögliche Extremstellen: (0/1) (0/-1)
> [mm](\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2}) (-\bruch{2}{3}/\bruch{x}{2})[/mm]
>
Wenn y = [mm] \frac{x}{2} [/mm] ist und x = +/- [mm] \frac{2}{3} [/mm] ... was ist ergibt sich dafür nun denn für y ??
> aber das scheint doch auch falsch zu sein...
>
> LG
Gruß Thomas
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[mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{4}{3}) (-\bruch{2}{3}/-\bruch{4}{3}) [/mm] jetzt so richtig? dann für die hesse matrix die eigenwerte bestimmen richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 22.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Denk nochmal nach, was y=x/2 heißt! Außer dem kannst du doch die Probe machen statt zu Fragen.
Gruß leduart
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wenn y= einhalb x ist bzw [mm] (\bruch{x}{2}) [/mm] und wenn x = [mm] +-(\bruch{2}{3}) [/mm] ist.
Dann einhalb * zweidrittel = +- eindrittel
okay. also noch einmal.
[mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3}) (-\bruch{2}{3}/-\bruch{1}{3}) [/mm] so jetzt aber :) hoffe ich ^^
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Hallo ellegance88,
> wenn y= einhalb x ist bzw [mm](\bruch{x}{2})[/mm] und wenn x =
> [mm]+-(\bruch{2}{3})[/mm] ist.
>
> Dann einhalb * zweidrittel = +- eindrittel
>
> okay. also noch einmal.
>
> [mm](\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3}) (-\bruch{2}{3}/-\bruch{1}{3})[/mm]
> so jetzt aber :) hoffe ich ^^
Ja, jetzt stimmts.
Gruss
MathePower
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ich habe jetzt die Hesse Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
-2y+6x & -2x+2y \\
-2x+2y & 2x
\end{pmatrix}
[/mm]
für (0/1) bekomme ich zwei Eigenwerte raus einen positiven und einen negativen also ist es semidefinit daraus folgt ein Sattelpunkt. Das gleiche gilt auch für (0/-1)
bei den anderen beiden bin ich mir nicht sicher, sind die richtig?
für [mm] (\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3}) [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\bruch{10}{3} & -\bruch{2}{3} \\
-\bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}
\end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo ellegance88,
> ich habe jetzt die Hesse Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-2y+6x & -2x+2y \\
-2x+2y & 2x
\end{pmatrix}[/mm]
>
> für (0/1) bekomme ich zwei Eigenwerte raus einen positiven
> und einen negativen also ist es semidefinit daraus folgt
> ein Sattelpunkt. Das gleiche gilt auch für (0/-1)
>
> bei den anderen beiden bin ich mir nicht sicher, sind die
> richtig?
> für [mm](\bruch{2}{3}/\bruch{1}{3})[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
\bruch{10}{3} & -\bruch{2}{3} \\
-\bruch{2}{3} & \bruch{4}{3}
\end{pmatrix}[/mm]
>
Ja.
Gruss
MathePower
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
