kritischer Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \[f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}\] [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Sei [mm] \[u \in \mathbb{R}^{n}\] [/mm] ein kritischer Punkt von f (d.h. [mm] \[Df\mid [/mm] _{u} = [mm] 0\]) [/mm] mit nicht ausgearteter Hessematrix, also [mm] \[det(Hf\mid [/mm] _{u}) [mm] \neq 0\]. [/mm] Zeigen Sie, dass eine Umgebung [mm] \[V \subset \mathbb{R}^{n}\] [/mm] von u existiert, in der f keinen weiteren kritischen Punkt hat. |
Meine Idee war es jetzt, den Satz über implizite Funktionen auf [mm] \[Df\mid [/mm] _{u} anzuwenden.
Dazu schreibe ich [mm] \[u [/mm] = [mm] (x_{0},y_{0})\] [/mm] mit [mm] x_{0} \in \mathbb{R}^{n-1} [/mm] und [mm] \[y_{0} \in \mathbb{R}\]. [/mm] Da nach Vor. [mm] \[Df\mid [/mm] _{u} = [mm] 0\] [/mm] sowie [mm] \[det(Hf\mid [/mm] _{u}) [mm] \neq 0\] [/mm] gilt, kann der Satz also angewandt werden.
Daraus folgt nun, dass eine Umgebung [mm] \[\Omega \subset \mathbb{R}^{n-1}\] [/mm] von [mm] \[x_{0}\] [/mm] und [mm] \[\varphi \in C^{1}(\Omega ,U)\]mit [/mm] U [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] offen, sodass [mm] \[Df(x_{0},\varphi (x_{0}))=0 \] [/mm] für alle [mm] \[x_{0} \in \Omega \]
[/mm]
Liefert das keinen Widerspruch zur zu zeigenden Behauptung, weil eine Umgebung von x0 ist doch auch Teil einer Umgebung von u oder hab ich hier irgendwo einen Denkfehler bzw. habe ich hier was falsch gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 16.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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