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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:40 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Konstruieren sie eine ONB für den UNtervektorraum U des [mm] R^{4} [/mm] der von folgenden Vekotren aufgespannt wird.
[mm] a_1= [/mm] (1,2,0,2) [mm] a_2= [/mm] (0,5,-2,4) [mm] a_3= [/mm] (-1,-1,-4,6)
Welcher Vektor in U hat von x= (-2,0,2,1) den kleinsten Abstand
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Hallo!
Ich habe eine Orthonormalbasis nach Cram-Schmidt bestimmt für den Untervektorraum,
der wäre dann:
[mm] b_1 \bruch{1}{3} [/mm] (1,2,0,2)
[mm] b_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] (-2,1,-2,0)
[mm] b_3= \bruch{1}{\wurzel(6)}*(0,-1,-1,2)
[/mm]
Für den Vektor aus U der den kleinsten Abstand von x hat,
weiss ich nicht genau wie ich vorgehen muss.
Ich habe bisher immer nur die Methode der kleinsten Quadrate mit Gauß für mehrere Punkte zum bestimmen einer geradengleichung gehabt.
der Vektor der den kleinsten Abstand zu X hat, sollte orthogonal auf x stehen oder?
also das skalarprodukt von x* Vektor = 0
komme ich damit weiter?
hat mir jemand nen ansatz für diese aufgabe?
vielen dank,
lg muhmuh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mi 17.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
wie heißt denn der Vektor in U?
$u [mm] \in [/mm] U$ mit $u = [mm] \alpha a_1 [/mm] + [mm] \beta a_2 [/mm] + [mm] \gamma a_3$
[/mm]
Dann $ [mm] \parallel [/mm] u-x [mm] \parallel \to [/mm] min$
Gesucht sind [mm] \lpha,\beta,\gamma
[/mm]
Jetzt sollte es dir bekannt vorkommen...
Achja der Mensch heißt Gram Schmidt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ich weiss nicht wie der vektor in U heisst? (verwirrt bin)
hm bekannt vorkommen tuts mir schon, bin nun nur etwas unsicher,
wäre es dann nicht
[mm] u_0= (x|b_1)b_1+(x|b_2)b_2+ (x|b_3)b_3 [/mm] ?
und dann bekommt man ja den vektor raus oder?
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> ich weiss nicht wie der vektor in U heisst? (verwirrt bin)
>
> hm bekannt vorkommen tuts mir schon, bin nun nur etwas
> unsicher,
> wäre es dann nicht
>
> [mm]u_0= (x|b_1)b_1+(x|b_2)b_2+ (x|b_3)b_3[/mm] ?
>
> und dann bekommt man ja den vektor raus oder?
>
>
>
Schau mal in deinen Aufzeichnungen nach. Das obige Problem ist eigentlich nur eine Umformulierung der Methode der kleinsten Quadrate und es wird nicht nach der Geraden gesucht sondern nur nach dem [mm] u_0 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(x|b_i)b_i.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
demnach ist meine version nur das ausgeschriebene der summenformel und stimmt daher oder?
hm in meinen Aufzeichnungen gibt es dazu wenig, habe aber nun den Satz dafür gefunden (hatten nur das Beispiel zu Gauß gemacht)
Wie der Vektor dann heißt weisss ich nicht,
hat das was mit dem othogonalen Komplement zu tun?
danke für das geduldige fragen beantworten:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> demnach ist meine version nur das ausgeschriebene der
> summenformel und stimmt daher oder?
Wenn Du das
$ [mm] u_0= (x|b_1)b_1+(x|b_2)b_2+ (x|b_3)b_3 [/mm] $
meinst, ja
FRED
>
>
> hm in meinen Aufzeichnungen gibt es dazu wenig, habe aber
> nun den Satz dafür gefunden (hatten nur das Beispiel zu
> Gauß gemacht)
>
> Wie der Vektor dann heißt weisss ich nicht,
> hat das was mit dem othogonalen Komplement zu tun?
>
> danke für das geduldige fragen beantworten:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Mi 17.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ja das meinte ich.
dann kommt ja als lösung der nullvektor raus;)
lg
danke
muhmuh
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mi 17.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Konstruieren sie eine ONB für den UNtervektorraum U des
> [mm]R^{4}[/mm] der von folgenden Vekotren aufgespannt wird.
>
> [mm]a_1=[/mm] (1,2,0,2) [mm]a_2=[/mm] (0,5,-2,4) [mm]a_3=[/mm] (-1,-1,-4,6)
>
> Welcher Vektor in U hat von x= (-2,0,2,1) den kleinsten
> Abstand
>
> Hallo!
>
>
> Ich habe eine Orthonormalbasis nach Cram-Schmidt bestimmt
> für den Untervektorraum,
>
> der wäre dann:
> [mm]b_1 \bruch{1}{3}[/mm] (1,2,0,2)
habisch auch
> [mm]b_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] (-2,1,-2,0)
hab ich auch
> [mm]b_3= \bruch{1}{\wurzel(6)}*(0,-1,-1,2)[/mm]
Ähm.
[mm]b_3= \bruch{1}{6}*(0,-4,-6,-4)[/mm]
[mm] c_k [/mm] = [mm] a_k [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{k-1} (a_k|b_i)b_i
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] - [mm] (a_3|b_1)b_1 [/mm] - [mm] (a_3|b_2)b_2
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = (-1,-1,-4,6) - [mm] \bruch{1}{3}9\bruch{1}{3}(1,2,0,2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}9\bruch{1}{3}(-2,1,-2,0)
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = (0,-4,-2,4)
[mm] b_3 [/mm] = [mm] \bruch{c_3}{\parallel c_3 \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}(0,-4,-2,4)
[/mm]
>
> Für den Vektor aus U der den kleinsten Abstand von x hat,
> weiss ich nicht genau wie ich vorgehen muss.
> Ich habe bisher immer nur die Methode der kleinsten
> Quadrate mit Gauß für mehrere Punkte zum bestimmen einer
> geradengleichung gehabt.
>
> der Vektor der den kleinsten Abstand zu X hat, sollte
> orthogonal auf x stehen oder?
>
> also das skalarprodukt von x* Vektor = 0
>
> komme ich damit weiter?
>
> hat mir jemand nen ansatz für diese aufgabe?
>
> vielen dank,
>
> lg muhmuh
trotzdem kommt bei mir auch der Nullvektor für [mm] u_0 [/mm] raus. Naja.
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