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| Aufgabe | | diskutieren Sie die Funktion [mm] f(x):\to 4x^4-4x^2 [/mm] |
also angefangne habe ich mit den verschiedenen ableitungen, um die parat zu haben:
[mm] f'(x)=16x^3-8x
[/mm]
[mm] f''(x)=48x^2-8
[/mm]
f'''(x)=96x
[mm] f^4(x)=96
[/mm]
dann habe ich festgestellt, dass die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist-
Die Nullstellen sind bei x=0 und x=1
ich weiß jetzt aber nicht, wie ich bei einer Funktion 4. Grades die Extremwerte berechnen soll, habe das bisher nur bei funktionen 3. grades gemacht. da die ableitung einer funktion 3. grades eine funktion 2. grades ergibt habe ich das dann immer über die p/q-formel weiter gelöst aber wie funktioniert dass bei einer funktion 4. grades?
muss ich da irgendwas mit ner substitution machen?
es wäre sehr nett, wenn mir da bitte jemand helfen könnte
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Hallo,
> diskutieren Sie die Funktion [mm]f(x):\to 4x^4-4x^2[/mm]
> also
> angefangne habe ich mit den verschiedenen ableitungen, um
> die parat zu haben:
>
> [mm]f'(x)=16x^3-8x[/mm]
> [mm]f''(x)=48x^2-8[/mm]
> f'''(x)=96x
> [mm]f^4(x)=96[/mm]
>
> dann habe ich festgestellt, dass die Funktion symmetrisch
> zur y-Achse ist-
> Die Nullstellen sind bei x=0 und x=1
>
> ich weiß jetzt aber nicht, wie ich bei einer Funktion 4.
> Grades die Extremwerte berechnen soll, habe das bisher nur
> bei funktionen 3. grades gemacht. da die ableitung einer
> funktion 3. grades eine funktion 2. grades ergibt habe ich
> das dann immer über die p/q-formel weiter gelöst aber wie
> funktioniert dass bei einer funktion 4. grades?
>
> muss ich da irgendwas mit ner substitution machen?
>
> es wäre sehr nett, wenn mir da bitte jemand helfen könnte
es ändert sich nicht viel:
notwendige Bedingung für Extrema: f'(x)=0.
Du hast f'(x) bereits berechnet.
Setzen wir das mal gleich Null:
Also: [mm] 16x^3-8x=0.
[/mm]
Du kannst nun einmal das x ausklammern, sodass:
[mm] x\cdot(16x^2-8)=0.
[/mm]
Wann kann ein Produkt nur Null sein? Wie geht es also weiter?
Gruß Sleeper
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ein produkt kann nur null sein, wenn einer der faktoren null ist.
f'(x)= [mm] x(16x^3-8)
[/mm]
[mm] x(16x^3-8)=0
[/mm]
das x vor der klammer ist also null
also rechne ich jetzt nurnoch mit [mm] 16x^3-8=0
[/mm]
[mm] 16x^3 [/mm] -8=0 /:16
[mm] x^3 -\bruch{1}{2}=0
[/mm]
und was mache ich nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]x^3 -\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> und was mache ich nun?
[mm]x^3 -\bruch{1}{2}=0[/mm] liefert [mm] x^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
nun ziehe die 3. Wurzel
FRED
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ich habe da oben einen fehler gemacht
ich rechne ja jetzt mit f`(x)= [mm] x(16x^2-8)
[/mm]
wenn das x vor der klammer null ist und ich nur noch mit [mm] (16x^2-8)=0 [/mm] rechne, dann benutze ich nurnoch die p/q formel und überprüfe auf Hoch und Tiefpunkt mittels Einsetzen in die 2. Ableitung, oder?
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> [mm]x^3=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{2}^\bruch{1}{3}[/mm]
>
> x=0,794
>
> aber dann habe ich ja nur einen x-wert, wie soll ich den
> denn jetzt auf Hoch- und Tiefpunkt prüfen?
Nein du bekommst 3 Werte für x, denn x kann ja auch 0 sein. Siehe dazu auch meine andere Antwort, weil du falsch ausgeklammert hattest.
Du prüfst das genauso wie immer. Die hinreichende Bedingung ist: f'(x)=0 und [mm] f''(x)\neq [/mm] 0. Also deine Werte einfach in die zweite Ableitung einsetzen.
Für ein Minimum brauchst du positive Steigung von f'(x), also f''(x)>0 und für ein Maximum eben negative Steigunf von f'(x), also f''(x)<0. Wenn f''(x)=0, liegt natürlich kein Extremum vor.
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wie funktioniert das ausrechnen des wendepunktes bei dieser funktion?
also ich gehe von der 2. ableitung [mm] 48x^2-8 [/mm] aus und gucke, ob die 3. ableitung
[mm] \not= [/mm] 0 ist.
die 3. ableitung ist aber 96 x und da kann man das ja nicht sofort sehen, ob das ergebnis ungleich null ist.
muss ich dann jetzt rechnen:
[mm] f''(x)=48x^2-8
[/mm]
[mm] 48x^2-8=0 [/mm] /: 48
[mm] x^2- \bruch{1}{6}=0
[/mm]
x=0,408
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> wie funktioniert das ausrechnen des wendepunktes bei dieser
> funktion?
> also ich gehe von der 2. ableitung [mm]48x^2-8[/mm] aus und gucke,
> ob die 3. ableitung
> [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> die 3. ableitung ist aber 96 x und da kann man das ja
> nicht sofort sehen, ob das ergebnis ungleich null ist.
>
> muss ich dann jetzt rechnen:
> [mm]f''(x)=48x^2-8[/mm]
> [mm]48x^2-8=0[/mm] /: 48
>
> [mm]x^2- \bruch{1}{6}=0[/mm]
> x=0,408
>
> stimmt das?
Nein. Aus [mm]x^2- \bruch{1}{6}=0[/mm] folgt [mm] x^2 [/mm] = 1/6, somit
$ x= [mm] \pm \bruch{1}{\wurzel{6}}$
[/mm]
FRED
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> ein produkt kann nur null sein, wenn einer der faktoren
> null ist.
> f'(x)= [mm]x(16x^3-8)[/mm]
> [mm]x(16x^3-8)=0[/mm]
>
Du hast hier falsch ausgeklammert: Es ist [mm] x(16x^2-8)=0.
[/mm]
Das Produkt ist nun gleich Null, wenn entweder x=0 oder [mm] 16x^2-8=0
[/mm]
Du bekommst also 3 Werte für x!
> das x vor der klammer ist also null
> also rechne ich jetzt nurnoch mit [mm]16x^3-8=0[/mm]
>
> [mm]16x^3[/mm] -8=0 /:16
> [mm]x^3 -\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> und was mache ich nun?
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