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| Aufgabe | Man prüfe folgende Anwendung des Satzes von de l'Hospital"
auf seine Richtigkeit:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2sin(1/x)}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{2xsin(1/x)-cos(1/x)}{1}
[/mm]
Prüfen Sie direkt ob der Grenzwert auf der rechten oder linken Seite existiert und berechnen
Sie ihn gegebenenfalls. Wieso liegt trotzdem kein Widerspruch zur Regel von de
l'Hóspital vor? |
Nun ich habe geprüft, wo der Grenzwet liegt. er liegt auf der rechten Seite und ich habe -1 für den Grenzwert bekommen.
Ich verstehe nicht, warum denn ein Widerspruch zur Regel vorliegen soll?
Kann mir jemand vielleicht behilflich sein? Würde mich sehr freuen...
LG
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Hallo looney_tune
> Man prüfe folgende Anwendung des Satzes von de
> l'Hospital"
> auf seine Richtigkeit:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2sin(1/x)}{x}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{2xsin(1/x)-cos(1/x)}{1}[/mm]
>
> Prüfen Sie direkt ob der Grenzwert auf der rechten oder
> linken Seite existiert und berechnen
> Sie ihn gegebenenfalls. Wieso liegt trotzdem kein
> Widerspruch zur Regel von de
> l'Hóspital vor?
> Nun ich habe geprüft, wo der Grenzwet liegt. er liegt auf
> der rechten Seite und ich habe -1 für den Grenzwert
> bekommen.
Wie hast du das denn errechnet??
Linkerhand ergibt sich doch 0 als GW, betrachte mal
[mm]\left|\frac{x^2\sin(1/x)}{x}\right|=|x|\cdot{}|\sin(1/x)|\le |x|[/mm]
Und das geht doch für [mm]x\to 0[/mm] gegen 0 ...
Rechterhand existiert der GW nicht
> Ich verstehe nicht, warum denn ein Widerspruch zur Regel
> vorliegen soll?
> Kann mir jemand vielleicht behilflich sein? Würde mich
> sehr freuen...
De l'Hôpital sagt doch vereinfacht (unter allen gegebenen Voraussetzungen), dass, wenn [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm] existiert, so auch [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}[/mm].
Dann ist [mm]\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
Wieso liegt hier also kein Widerspruch zur Regel von de l'Hôpital vor?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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warum existiert denn Rechterhand kein Grenzwert es ist doch
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{2* O * sin(1/O)-cos(1/0)}{1} [/mm] = -1/1 = -1 oder nicht?
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Hallo nochmal,
stelle doch bitte Anschlussfragen auch als Fragen und nicht als Mitteilungen, dann sieht man sie schneller ...
> warum existiert denn Rechterhand kein Grenzwert es ist doch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{2* O * sin(1/O)-cos(1/0)}{1}[/mm]
> = -1/1 = -1 oder nicht?
Nein, wieso sollte [mm] $-\cos(1/x)$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$ konvergieren?
Der Kosinus oszilliert doch für wachsende Argumente immer wieder zwischen -1 und 1 hin und her ...
Gruß
schachuzipus
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aa ja ok vielen Dank.
Was könnte ich denn als Begründung schreiben, wieso kein Widerspruch zur Regel vorliegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich wiederhole, was Kollege schachuzipus gesagt hat:
De l'Hôpital sagt doch vereinfacht (unter allen gegebenen Voraussetzungen), dass, wenn $ [mm] \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $ existiert, so auch $ [mm] \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] $.
Dann ist $ [mm] \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $
Bei obiger Aufgabe ist es so:
$ [mm] \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] $ existiert nicht.
FRED
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also weil sowohl der rechte als auch der linke limes nicht existiert liegt kein Widerspruch zur Regel. kann man das so einfach begründen?
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Hallo nochmal,
> also weil sowohl der rechte als auch der linke limes nicht
> existiert liegt kein Widerspruch zur Regel. kann man das so
> einfach begründen?
Das stimmt nicht, es existiert der Limes des linken Ausdrucks, aber der des rechten nicht.
Überlege mal, welche logische Struktur hinter der Aussage von de l'Hôpital steckt und warum die Lage hier keinen Widerspruch dazu darstellt ...
Gruß
schachuzipus
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