l'hopital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:29 Do 20.08.2009 | | Autor: | izzy |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(x) + 2x}{cos(x) + 2x} [/mm] |
hallo zusammen
bei dieser aufgabe habe ich l'hopital angewendet und kam damit auf das falsche resultat! kann ich denn hier nicht dieses verfahren anwenden?
liebe grüsse
izzy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Do 20.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo izzy!
Was und ob was falsch ist, können wir ohne Deine Rechnung nicht beurteilen.
Da für [mm] $\red{x}\rightarrow\infty$ [/mm] der Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] vorliegt, darf man auch de l'Hospital anwenden.
Es reicht aber auch aus, in Zähler und Nenner jeweils $x_$ auszuklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Do 20.08.2009 | | Autor: | izzy |
also dann rechne ich mal vor!
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(x) + 2x}{cos(x) + 2x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{cos(x) + 2}{-sin(x) + 2} [/mm] (l'hopital)
Dann habe ich gedacht, dass diese Folge nicht konvergiert und habe deshalb nach 2 Teilfolgen gesucht, die nicht denselben Grenzwert haben.
1) x = [mm] 2*\pi*k, [/mm] k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(2*\pi*k) + 2}{cos(2*\pi*k) + 2} [/mm] = [mm] \bruch{1 + 2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
2) x = [mm] 2*\pi*k [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(2*\pi*k + \bruch{\pi}{2}) + 2}{cos(2*\pi*k + \bruch{\pi}{2}) + 2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{-1 + 2} [/mm] = 2
und deshalb hatte ich gesagt, dass diese Folge divergiert!
was mache ich falsch?
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Hallo izzy,
> also dann rechne ich mal vor!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sin(x) + 2x}{cos(x) + 2x}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{cos(x) + 2}{-sin(x) + 2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (l'hopital)
> Dann habe ich gedacht, dass diese Folge nicht konvergiert
> und habe deshalb nach 2 Teilfolgen gesucht, die nicht
> denselben Grenzwert haben.
>
> 1) x = [mm]2*\pi*k,[/mm] k [mm]\in \IN:[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(2*\pi*k) + 2}{cos(2*\pi*k) + 2}[/mm]
> = [mm]\bruch{1 + 2}{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> 2) x = [mm]2*\pi*k[/mm] + [mm]\bruch{\pi}{2},[/mm] k [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{sin(2*\pi*k + \bruch{\pi}{2}) + 2}{cos(2*\pi*k + \bruch{\pi}{2}) + 2}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{-1 + 2}[/mm] = 2
>
> und deshalb hatte ich gesagt, dass diese Folge divergiert!
> was mache ich falsch?
Ich habe diese Sachen nicht genau nachgerechne, aber es scheint zu stimmen, dies ist wohl ein Bsp., wo de l'Hôpital nicht klappt.
Halte dich an Loddars Alternativvorschlag und klammere in Zähler und Nenner $x$ aus (Bedenke, dass Sinus und Kosinus beschränkt sind, also [mm] $|\sin(x)|,|\cos(x)|<1$
[/mm]
Damit siehst du schnell ein, dass der GW für [mm] $x\to\infty$ [/mm] 1 ist
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Do 20.08.2009 | | Autor: | izzy |
der alternative lösungsweg ist ja schön und gut, aber wie merke ich, dass ich l'hopital nicht anwenden darf?
lg izzy
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> ..., aber wie
> merke ich, dass ich l'hopital nicht anwenden darf?
Der Satz von L'Hospital sagt leider nur, dass -nach Erfüllen der Voraussetzungen des Satzes- wenn [mm]\limes_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] existiert, dann auch [mm]\limes_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] existiert und gleich dem ersten Limes ist. Wenn der Limes nicht existiert, muss man mit anderen Methoden und Überlegungen weiterarbeiten (siehe Loddar ...)
Gruß, MatheOldie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Do 20.08.2009 | | Autor: | izzy |
ja da hast du vollkommen recht!
vielen dank..
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