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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Mi 30.06.2010 | | Autor: | bb83 |
Folgende Aufgabe: Zeigen sie, dass das Betriebsoptimum bei 7,83 ME liegt und berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze.
Ich habe hier die Lösung zu der Aufgabe, bin mir aber nicht sicher, ob sie richtig ist.
K(x)= [mm] x^3 [/mm] - [mm] 13,5x^2 [/mm] + 399x + 132
K(x)/x = [mm] x^2 [/mm] - 13,5x + 399 + 132 * 1/x
K(x) = [mm] x^2 [/mm] - 13,5x + 399 [mm] +132^x-1
[/mm]
K´(x)= 2x - 13,5 - [mm] 132/x^2
[/mm]
K´(7,83)=0,006
K"(x)= [mm] 2+2*(132/x^3)
[/mm]
K"(x)= [mm] 2+(264x^3)
[/mm]
K"(7,83)=2,55
K(7,83) = 371,66
Ist die Lösung richtig? Wenn ja, könnte es mir bitte jemand erklären, denn ich verstehe dieses Wirrwarr überhaupt nicht.
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Hi,
so wie es dort steht, sind mindestens ein paar Ungenauigkeiten drin, aber es sieht nach einer richtigen Lösung aus.
Grundsätzlich geht es in der Aufgabe ja darum, einen optimalen Wert für die Produktionsmenge bzgl. der Kosten zu ermitteln. Das funktioniert recht einfach, wenn man einen Funktionsterm zur Berechnung der Kosten für eine bestimmte Stückmenge hat.
> Folgende Aufgabe: Zeigen sie, dass das Betriebsoptimum bei
> 7,83 ME liegt und berechnen Sie die langfristige
> Preisuntergrenze.
> Ich habe hier die Lösung zu der Aufgabe, bin mir aber
> nicht sicher, ob sie richtig ist.
>
Das hier müsste diese Berechnungsvorschrift sein:
> K(x)= [mm]x^3[/mm] - [mm]13,5x^2[/mm] + 399x + 132
Da es aber klar ist, dass die (Gesamt-)Kosten mit wachsender Stückzahl wachsen, ist die interessantere Frage, wie viel denn jeweils ein Stück bei der entsprechenden Stückzahl kostet. Deswegen dividierst du das durch die Stückzahl:
> K(x)/x = [mm]x^2[/mm] - 13,5x + 399 + 132 * 1/x
Dieser neuen Funktion (Kosten pro Einheit) solltest du aber einen anderen Namen geben (K ist ja schon vergeben).
Darüber hinaus stimmt hinten der Teil mit der 132 nicht, aber vielleicht ist das auch einfach nur falsch getippt.
> K(x) = [mm]x^2[/mm] - 13,5x + 399 [mm]+132^x-1[/mm]
[mm]E(x) = x^2 - 13,5x + 399 + \bruch{132}{x}[/mm]
[Für den Rest lasse ich das mit dem K(x) stehen.]
Um das Optimum zu finden, wählt man den Weg über die Ableitung, denn höchstens dort, wo diese 0 ist, kann ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen:
> K´(x)= 2x - 13,5 - [mm]132/x^2[/mm]
>
Eigentlich müsstest du jetzt die Nullstellen von K'(x) berechnen, vielleicht habt ihr das Newton-Verfahren gemacht?
Was jetzt hier steht ist allerdings ein einfaches Einsetzen. Du prüfst nur nach, ob die Ableitung für den gegebenen Wert 7,83 tatsächlich Null ergibt. Wie du siehst, liegt es in der Nähe der 0, weil 7,83 nur der gerundete Wert ist.
> K´(7,83)=0,006
Jetzt fehlt noch die Prüfung, ob an dieser Stelle ein Maximum oder ein Minimum oder garnichts vorliegt. Das erledigt man durch Einsetzen des Werts in die 2. Ableitung:
> K"(x)= [mm]2+2*(132/x^3)[/mm]
> K"(x)= [mm]2+(264x^3)[/mm]
> K"(7,83)=2,55
Weil hier ein positiver Wert rauskommt (konkrete Zahl ist egal), ist bei 7,83 ein Tiefpunkt.
> K(7,83) = 371,66
>
Setzt man jetzt die 7,83 wieder in K(x) ein [Problem: Du hast zwei verschiedene K(x)...], erhält man:
... beim Einsetzen in die "untere K(x)", wie viel Kosten pro Einheit entstehen, wenn man 7,83 Einheiten produziert
... beim Einsetzen in die "originale K(x)", wie hoch die Gesamtkosten sind, wenn man 7,83 Einheiten produziert.
> Ist die Lösung richtig? Wenn ja, könnte es mir bitte
> jemand erklären, denn ich verstehe dieses Wirrwarr
> überhaupt nicht.
Vielleicht hättest du schneller eine Antwort bekommen (von anderen), wenn du deine Frage etwas genauer formuliert hättest, z.B. indem du die Aufgabenstellung komplett nennst, hinschreibst, was Aufgabe ist, wo die Lösung herkommt usw.
Gruß,
Martin
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