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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - laplace in zylinderkoordinaten
laplace in zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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laplace in zylinderkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Sa 12.06.2010
Autor: icarus89

Aufgabe
Bestimmen Sie die Form des dreidimensionalen Laplace-Operators [mm] \nabla*\nabla [/mm] in Zylinderkoordiaten!
Antwort: [mm] \nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z} [/mm]

Heyho!

Ausgehend von [mm] \nabla [/mm] in Zylinderkoordinaten komme ich auf
[mm] \nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z} [/mm]

Was ist aber mit [mm] \bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}? [/mm]

Wo kommt denn das her?

Darüber hinaus hatten wir auch [mm] \nabla [/mm] noch nicht in Zylinderkoordianten, von daher müsste ich das auch noch bestimmen. Aber weiß nicht wie...
Ich find diese Koordinatentransformationen blöd -_-
Versteh das voll nicht...

        
Bezug
laplace in zylinderkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Di 15.06.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Bestimmen Sie die Form des dreidimensionalen
> Laplace-Operators [mm]\nabla*\nabla[/mm] in Zylinderkoordiaten!
>  Antwort:
> [mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z}[/mm]

Das muss wohl eher heißen:

[mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}^2+\partial_{z}^2[/mm]

>  Heyho!
>  
> Ausgehend von [mm]\nabla[/mm] in Zylinderkoordinaten komme ich auf
>  
> [mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z}[/mm]
>  
> Was ist aber mit [mm]\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}?[/mm]

Hast du daran gedacht, dass die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten nicht konstant sind, also

[mm] \partial_{\varphi} \vec{e}_\rho = \vec{e}_\varphi[/mm] ,  [mm] \partial_{\varphi} \vec{e}_\varphi= -\vec{e}_\rho[/mm]  ?

>  
> Wo kommt denn das her?
>  
> Darüber hinaus hatten wir auch [mm]\nabla[/mm] noch nicht in
> Zylinderkoordianten, von daher müsste ich das auch noch
> bestimmen. Aber weiß nicht wie...

Du kannst es auch explizit machen, indem du zunächst [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\varphi$schreibst [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} = \bruch{\partial f}{\partial x} \bruch{\partial x}{\partial \rho} + \bruch{\partial f}{\partial y} \bruch{\partial y}{\partial\varphi} = \bruch{\partial f}{\partial x} \cos \varphi + \bruch{\partial f}{\partial y} \sin \varphi [/mm],

und analog

[mm] \bruch{\partial f}{\partial \varphi} = - \rho\bruch{\partial f}{\partial x} \sin \varphi + \rho \bruch{\partial f}{\partial y} \cos \varphi [/mm] .

Daher ist

[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} \cos\varphi - \bruch{1}{\rho} \bruch{\partial f}{\partial \varphi} \sin \varphi = \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm]

und

[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} \sin\varphi + \bruch{1}{\rho} \bruch{\partial f}{\partial \varphi} \cos \varphi = \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm],

oder

[mm] \bruch{\partial }{\partial x} = \cos\varphi \bruch{\partial}{\partial \rho} - \bruch{1}{\rho} \sin \varphi \bruch{\partial }{\partial \varphi} [/mm],  [mm] \bruch{\partial}{\partial y} = \sin\varphi \bruch{\partial}{\partial \rho} + \bruch{1}{\rho} \cos\varphi\bruch{\partial }{\partial \varphi} [/mm] .

Damit kannst du mit ein bischen Aufwand die doppelten Ableitungen nach x und y durch die nach [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] ausdrücken.

Viele Grüße
   Rainer

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