lebesgue-integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
| Aufgabe | [mm] $g:(0,1]\to\mathbb{R},\quad x\mapsto g(x):=\frac{(-1)^n*2^n}{n}$ [/mm] für [mm] $x\in (\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}]$
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] $g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda).$
[/mm]
b) [mm] $\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda [/mm] (x)$ |
Hallo miteinander,
ich bearbeite gerade diese Aufgabe um hänge beim b-Teil etwas.
Zu a) habe ich folgendes:
Wenn g lebesque-integrierbar wäre, würden auch [mm] $\int [/mm] g^+$ und [mm] $\int [/mm] g^-$ existieren, also endlich sind.
$g^-$ sind hier die Werte die g annimt für ungerade n.
Betrachten wir [mm] $\int [/mm] g^- [mm] =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty$
[/mm]
somit existiert [mm] $\int [/mm] g^-$ nicht und damit ist g nicht lebesgue-integrierbar, also [mm] $g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda)$
[/mm]
Reicht das schon so? oder muss ich noch etwas zeigen? Messbarkeit (Ja eigentlich klar)?
Und bei der b) weiß ich leider nicht so richtig wie ich vorgehen soll.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]g:(0,1]\to\mathbb{R},\quad x\mapsto g(x):=\frac{(-1)^n*2^n}{n}[/mm]
> für [mm]x\in (\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}][/mm]
>
> Zeigen Sie:
> a) [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda).[/mm]
> b) [mm]\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda (x)[/mm]
>
> Hallo miteinander,
>
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe um hänge beim b-Teil
> etwas.
>
> Zu a) habe ich folgendes:
>
> Wenn g lebesque-integrierbar wäre, würden auch [mm]\int g^+[/mm]
> und [mm]\int g^-[/mm] existieren, also endlich sind.
>
> [mm]g^-[/mm] sind hier die Werte die g annimt für ungerade n.
>
> Betrachten wir [mm]\int g^- =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty[/mm]
Da hast Du einen Vorzeichenfehler drin:
Es ist [mm] $\int [/mm] g^- = [mm] -\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Edit: was ich da geschrieben habe ist Unfug ! Deine Rechnungen sind O.K.
>
> somit existiert [mm]\int g^-[/mm] nicht und damit ist g nicht
> lebesgue-integrierbar, also
> [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda)[/mm]
>
> Reicht das schon so? oder muss ich noch etwas zeigen?
> Messbarkeit (Ja eigentlich klar)?
Die Messbarkeit der beteiligten Funktionen dürfte klar sein. Bis aufs Vorzeichen ist alles O.K.
>
> Und bei der b) weiß ich leider nicht so richtig wie ich
> vorgehen soll.
In b) steht doch nur eine DFefinition ! Hast Du was vom Aufgabentext vergessen ?
FRED
>
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> DerBaum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort Fred!
> > [mm]g:(0,1]\to\mathbb{R},\quad x\mapsto g(x):=\frac{(-1)^n*2^n}{n}[/mm]
> > für [mm]x\in (\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}][/mm]
> >
> > Zeigen Sie:
> > a) [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda).[/mm]
> > b) [mm]\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda (x)[/mm]
>
> >
> > Hallo miteinander,
> >
> > ich bearbeite gerade diese Aufgabe um hänge beim b-Teil
> > etwas.
> >
> > Zu a) habe ich folgendes:
> >
> > Wenn g lebesque-integrierbar wäre, würden auch [mm]\int g^+[/mm]
> > und [mm]\int g^-[/mm] existieren, also endlich sind.
> >
> > [mm]g^-[/mm] sind hier die Werte die g annimt für ungerade n.
> >
> > Betrachten wir [mm]\int g^- =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty[/mm]
>
> Da hast Du einen Vorzeichenfehler drin:
>
> Es ist [mm]\int g^- = -\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to - \infty[/mm]
Oh, okay.
Ich dachte es gilt [mm] $f^-=\max\{-f,0\}$.
[/mm]
Dann gilt doch [mm]\int g^- =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left[\frac{2^{2n+1}}{2n+1}x\right]^{\frac{1}{2^{2n}}}_{\frac{1}{2^{2n+1}}}=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty[/mm]
>
> >
> > somit existiert [mm]\int g^-[/mm] nicht und damit ist g nicht
> > lebesgue-integrierbar, also
> > [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda)[/mm]
> >
> > Reicht das schon so? oder muss ich noch etwas zeigen?
> > Messbarkeit (Ja eigentlich klar)?
>
> Die Messbarkeit der beteiligten Funktionen dürfte klar
> sein. Bis aufs Vorzeichen ist alles O.K.
> >
> > Und bei der b) weiß ich leider nicht so richtig wie ich
> > vorgehen soll.
>
> In b) steht doch nur eine DFefinition ! Hast Du was vom
> Aufgabentext vergessen ?
>
Oh, entschuldigung. Es soll natürlich heißen:
b)Das uneigentliche Integral [mm]\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda (x)[/mm] existiert
> FRED
> >
> > Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> > DerBaum
>
Vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort Fred!
>
> > > [mm]g:(0,1]\to\mathbb{R},\quad x\mapsto g(x):=\frac{(-1)^n*2^n}{n}[/mm]
> > > für [mm]x\in (\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}][/mm]
> > >
> > > Zeigen Sie:
> > > a) [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda).[/mm]
> > > b) [mm]\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda (x)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo miteinander,
> > >
> > > ich bearbeite gerade diese Aufgabe um hänge beim b-Teil
> > > etwas.
> > >
> > > Zu a) habe ich folgendes:
> > >
> > > Wenn g lebesque-integrierbar wäre, würden auch [mm]\int g^+[/mm]
> > > und [mm]\int g^-[/mm] existieren, also endlich sind.
> > >
> > > [mm]g^-[/mm] sind hier die Werte die g annimt für ungerade n.
> > >
> > > Betrachten wir [mm]\int g^- =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty[/mm]
>
> >
> > Da hast Du einen Vorzeichenfehler drin:
> >
> > Es ist [mm]\int g^- = -\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to - \infty[/mm]
>
> Oh, okay.
> Ich dachte es gilt [mm]f^-=\max\{-f,0\}[/mm].
> Dann gilt doch [mm]\int g^- =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}},\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left[\frac{2^{2n+1}}{2n+1}x\right]^{\frac{1}{2^{2n}}}_{\frac{1}{2^{2n+1}}}=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2}{2n+1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\sum\limit_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n+1}\to\infty[/mm]
Pardon. Oben habe ich mich vertan. Deine Rechnungen sind O.K.
>
> >
> > >
> > > somit existiert [mm]\int g^-[/mm] nicht und damit ist g nicht
> > > lebesgue-integrierbar, also
> > > [mm]g\notin\mathcal{L}^1((0,1],\lambda)[/mm]
> > >
> > > Reicht das schon so? oder muss ich noch etwas zeigen?
> > > Messbarkeit (Ja eigentlich klar)?
> >
> > Die Messbarkeit der beteiligten Funktionen dürfte klar
> > sein. Bis aufs Vorzeichen ist alles O.K.
> > >
> > > Und bei der b) weiß ich leider nicht so richtig wie ich
> > > vorgehen soll.
> >
> > In b) steht doch nur eine DFefinition ! Hast Du was vom
> > Aufgabentext vergessen ?
> >
> Oh, entschuldigung. Es soll natürlich heißen:
> b)Das uneigentliche Integral
> [mm]\int\limits_0^1g(x)\;dx:=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\lambda (x)[/mm]
> existiert
O.K. Und wie weit bist Du damit gekommen ?
FRED
>
> > FRED
> > >
> > > Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
> > >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > DerBaum
> >
> Vielen Dank :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Also zur b) habe ich bis jetzt:
[mm] $\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]} g(x)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left( \int_{[\varepsilon,1]}g^+\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-\;dx\right)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left(\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^n}{2n}*\varepsilon\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^{2n+1}}{2n+1}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}*\varepsilon\right)\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\right)$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 29.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also zur b) habe ich bis jetzt:
>
> [mm]\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]} g(x)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left( \int_{[\varepsilon,1]}g^+\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-\;dx\right)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left(\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^n}{2n}*\varepsilon\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^{2n+1}}{2n+1}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}*\varepsilon\right)\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\right)[/mm]
Das 2. "=" ist mir ein Rätsel.
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:19 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
> > Also zur b) habe ich bis jetzt:
> >
> > [mm]\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]} g(x)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left( \int_{[\varepsilon,1]}g^+\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-\;dx\right)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left(\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^n}{2n}*\varepsilon\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^{2n+1}}{2n+1}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}*\varepsilon\right)\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(\frac{2^n}{2n}-\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\right)[/mm]
>
> Das 2. "=" ist mir ein Rätsel.
>
> FRED
>
Ja, da hast du natürlich recht. Da ist ein Großer Denkfehler drin :-/
Ich weiß hier nicht genau, wie ich hier [mm] $\int_{[\varepsilon,1]}g^+\;dx$ [/mm] bzw. [mm] $\int_{[\varepsilon,1]}g^-\;dx$ [/mm] integrieren soll.
Ich muss ja irgendwie so weit Integrieren, bis ich auch ein Intervall stoße, in dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] liegt, oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 29.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Also ich habe mich jetzt nochmal daran versucht:
[mm] $\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\;d\lambda (x)=\lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\left(\int_{[\varepsilon,1]}g^+(x)\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-(x)\;dx\right)=\int_{(0,1]}g^+(x)\;dx-\int_{(0,1]}g^-(x)\;dx=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n}}\frac{1}{2^{2n-1}}]}\frac{2^{2n}}{2n}\;dx-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}}\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n}\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n+1}\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n(2n+1)}\leq\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Und diese letzte Reihe konvergiert, somit auch das Integral, welches damit existiert.
Stimmt das so?
Kann ich hier den 3. Schritt einfach so machen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Der Baum
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich habe mich jetzt nochmal daran versucht:
>
> [mm]\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\;d\lambda (x)=
> \lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\left(\int_{[\varepsilon,1]}g^+(x)\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-(x)\;dx\right)=
> \int_{(0,1]}g^+(x)\;dx-\int_{(0,1]}g^-(x)\;dx=
Das hatten wir doch oben schon ! \int_{(0,1]}g^+(x)\;dx= \infty und \int_{(0,1]}g^-(x)\;dx= \infty
> \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n}}\frac{1}{2^{2n-1}}]}\frac{2^{2n}}{2n}\;dx-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}}\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=
> \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n}\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n+1}\right)
Diese beiden Reihen sind divergent !!!!!!!
> =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n(2n+1)}\leq\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^2}[/mm]
>
> Und diese letzte Reihe konvergiert, somit auch das
> Integral, welches damit existiert.
>
> Stimmt das so?
nein.
>
> Kann ich hier den 3. Schritt einfach so machen?
Nein.
FRED
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
>
> Der Baum
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:29 Do 30.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Vielen Dank für deine Antwort FRED,
> > Also ich habe mich jetzt nochmal daran versucht:
> >
> > [mm]\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int_{[\varepsilon,1]}g(x)\;d\lambda (x)=
> \lim\limits_{\varepsilon \searrow 0}\left(\int_{[\varepsilon,1]}g^+(x)\;dx-\int_{[\varepsilon,1]}g^-(x)\;dx\right)=
> \int_{(0,1]}g^+(x)\;dx-\int_{(0,1]}g^-(x)\;dx=
Das hatten wir doch oben schon ! \int_{(0,1]}g^+(x)\;dx= \infty und \int_{(0,1]}g^-(x)\;dx= \infty
> \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n}}\frac{1}{2^{2n-1}}]}\frac{2^{2n}}{2n}\;dx-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\int_{(\frac{1}{2^{2n+1}}\frac{1}{2^{2n}}]}\frac{2^{2n+1}}{2n+1}\;dx=
> \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n}\right)-\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( \frac{1}{2n+1}\right)
Diese beiden Reihen sind divergent !!!!!!!
> =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{2n(2n+1)}\leq\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^2}[/mm]
>
> >
> > Und diese letzte Reihe konvergiert, somit auch das
> > Integral, welches damit existiert.
> >
> > Stimmt das so?
>
> nein.
> >
> > Kann ich hier den 3. Schritt einfach so machen?
>
> Nein.
>
> FRED
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich das dann machen kann?
Vielen Dank und liebe Grüße
DerBaum
> >
> > Vielen Dank
> >
> > Liebe Grüße
> >
> > Der Baum
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:23 Do 30.01.2014 | | Autor: | DerBaum |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also ich habe mir nochmal Gedanken gemacht, weiß aber nicht, ob sie richtig sind, bzw. ich es richtig formuliert habe:
Für $x\in[\varepsilon,1]$ kann g ja als einfache Funktion schreiben: $g|_{[\varepsilon,1]}(x)=\left(\sum\limits_{n=1}^{n_{\varepsilon}-1}(-1)^n\frac{2^n}{n}\mathcal{X}_{\left(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}\right]}(x)\right)+(-1)^{n_\varepsilon}\frac{2^{n_\varepsilon}}{n_\varepsilon}\mathcal{X}_{\left[\varepsilon,\frac{1}{2^{n_\varepsilon-1}\right]}(x)$ für $n_\varepsilon\in\mathbb{N}$ mit $\varepsilon\in\left(\frac{1}{2^{n_\varepsilon}},\frac{1}{2^{n_\varepsilon-1}}\right]$.
Dann gilt:
$\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int\limits_\varepsilon^1 g(x)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int\limits_\varepsilon^1 g|_{[\varepsilon,1]}(x)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int\limits_\varepsilon^1\left(\left(\sum\limits_{n=1}^{n_{\varepsilon}-1}(-1)^n\frac{2^n}{n}\mathcal{X}_{\left(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}\right]}(x)\right)+(-1)^{n_\varepsilon}\frac{2^{n_\varepsilon}}{n_\varepsilon}\mathcal{X}_{\left[\varepsilon,\frac{1}{2^{n_\varepsilon-1}\right]}(x)\right)\;d\lambda(x)=\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\left(\left(\sum\limits_{n=1}^{n_{\varepsilon}-1}(-1)^n\frac{2^n}{n}\underbrace{\lambda(\left(\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}\right])\right)}_{=\left(\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n}}\right)}+\underbrace{(-1)^{n_\varepsilon}\frac{2^{n_\varepsilon}}{n_\varepsilon}\lambda(\left[\varepsilon,\frac{1}{2^{n_\varepsilon-1}\right])\right)}}_{\to 0 \mbox{ für } \varepsilon\searrow 0}\right)$
,da für $\varepsilon\searrow 0$ gilt: $n_\varepsilon\to\infty$
Somit:
$\lim\limits_{\varepsilon\searrow 0}\int\limits_\varepsilon^1 g(x)\;d\lambda(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}(-1)^n\frac{2^n}{n}\left(\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^n}\right)=\sum\limits_{n\in\mathbb{N}}(-1)^n\frac{1}{n}=-\ln(2)$
Und diese reihe kovergiert nun. Also existiert das uneigentliche Integral.
Stimmt das diesmal so?
Würde mich sehr über ein kurzes Feedback freuen!
Liebe Grüße DerBaum
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:36 Fr 31.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 31.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 31.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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