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Forum "Algebra" - lemma gruppenwirkung
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lemma gruppenwirkung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Mi 02.05.2018
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei G eine Gruppe, die auf einer Menge X wirkt. Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] X und g [mm] \in [/mm] G
[mm] G_{x^{g}}=G_{x}^{g}. [/mm]

Hallo,

ich verstehe nicht was dieses Lemma aussagen soll. Was ist [mm] G_{x^{g}} [/mm] ? [mm] x^{g}=f(x,g) [/mm] oder ? Und was ist [mm] G_{x}^{g}? [/mm]

lg
Mandy_90

        
Bezug
lemma gruppenwirkung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mi 02.05.2018
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Sei G eine Gruppe und H [mm] \le [/mm] G. Dann gilt:
(a) WIrkt G trnsitiv auf einer Menge X, so sind folgende Aussagen äquivalent:
     (i) H wirkt transitiv auf X.
     (ii) Für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: [mm] G=G_{x}H [/mm]
(b) Gilt [mm] G=HH^{g} [/mm] für ein g [mm] \in [/mm] G, so folgt G=H.

Hallo,
dieses Lemma versteh ich auch nicht. Wie ist ist [mm] G_{x}H [/mm] definiert ? Was kann ich mir unter [mm] HH^{g} [/mm] vorstellen ?

lg
Mandy

Bezug
                
Bezug
lemma gruppenwirkung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Do 03.05.2018
Autor: hippias

Auch hier findest Du kompetente Antwort in allen möglichen Lehrbüchern. Tip: 1. Komplexprodukt 2. Besser aufpassen, dann sparst Du enorm viel Zeit.



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Bezug
lemma gruppenwirkung: Tipp
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 06:37 Do 03.05.2018
Autor: zahlenspieler

Hallo Mandy_90,
 weiss nicht, wie verbreitet diese Bezeichnung ist; aber [mm]G_{x}[/mm], wobei $G$ eine Gruppe und $x$ Element einer Menge ist, bezeichnet die Menge [mm]\{f(x,g) | g \in G\}[/mm]; dabei ist [mm]f: X \times G \to X[/mm] eine Abbildung (mit den in der Def. genannten Eigenschaften). Diese Menge ist die sog. Bahn bzw. Orbit von $x$. Ich vermute, dass mit [mm]G_{x}^{g}[/mm] die 'Bildmenge' der Funktion [mm](x,g) \mapsto f(x,g)[/mm] gemeint ist, dass Du also zeigen sollst: [mm]G_{x^{g}}=G_{x}[/mm].
Hth
Thomas

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Bezug
lemma gruppenwirkung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 08:24 Do 03.05.2018
Autor: hippias


> Hallo Mandy_90,
>   weiss nicht, wie verbreitet diese Bezeichnung ist; aber
> [mm]G_{x}[/mm], wobei [mm]G[/mm] eine Gruppe und [mm]x[/mm] Element einer Menge ist,
> bezeichnet die Menge [mm]\{f(x,g) | g \in G\}[/mm]; dabei ist [mm]f: X \times G \to X[/mm]
> eine Abbildung (mit den in der Def. genannten
> Eigenschaften). Diese Menge ist die sog. Bahn bzw. Orbit
> von [mm]x[/mm].

Nein, das ist nicht die übliche Bezeichnung für den Orbit.

> Ich vermute, dass mit [mm]G_{x}^{g}[/mm] die 'Bildmenge' der
> Funktion [mm](x,g) \mapsto f(x,g)[/mm] gemeint ist, dass Du also
> zeigen sollst: [mm]G_{x^{g}}=G_{x}[/mm].

Nein, das ist nicht die Aufgabenstellung.

>  Hth
>  Thomas


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Bezug
lemma gruppenwirkung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Do 03.05.2018
Autor: hippias

Mandy_90! Definitionen findest Du im Skript, Büchern etc. Tip: Man nennt [mm] $G_{x}$ [/mm] auch den Stabilisator von $x$ in $G$. Die Aussage des Lemmas ist, dass die Mengen [mm] $G_{x^{g}}$ [/mm] und [mm] $G_{x}^{g}$ [/mm] gleich sind; es ist also eine Mengengleichheit zu zeigen. Diese zeigst Du wie üblich, indem Du beide Inklusionen nachrechnest.

Deine Interpretation von [mm] $x^{g}$ [/mm] ist richtig.

Wenn das nicht ausreicht, frage nocheinmal genauer nach.

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