lim f'(x)=f'(x_{0}) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 15.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein Intervall. [mm] f:I\to\IR [/mm] in [mm] x_{0} \in [/mm] I stetig. Es exsistiere ein [mm] \delta>0 [/mm] so, dass f auf [mm] U_{\delta}(x_{0}) [/mm] \ [mm] \{x_{0}\} [/mm] differenzierbar ist. Exsistiert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f'(x), so ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und f' ist in [mm] x_{0} [/mm] stetig, d.h.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} f'(x)=f'(x_{0}) [/mm] |
Hallo Leute,
habe nun obige Aufgabe zu lösen und ne Idee...
Sei [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f'(x)=A
Nach MWS exs. [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(G_{x_{0}}) [/mm] für ein G zwischen [mm] x_{0} [/mm] und x mit
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f'(G_{x_{0}})=A
[/mm]
dann [mm] (x\rightarrow\ x_{0} [/mm] folgt [mm] G_{x_{0}}\rightarrow\ x_{0})
[/mm]
Daraus folgt f diffbar in [mm] x_{0} [/mm] und es gilt [mm] f'(x_{0})=A=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] f'(x)
Wobei G dieses andere Zeichen ist, so ein großes geschwungendes E (keine Ahnung wie es jetzt heißt).
Kann man das so tun?? Also ist es schlüssig??
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Di 15.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Silfide,
> Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall. [mm]f:I\to\IR[/mm] in [mm]x_{0} \in[/mm] I
> stetig. Es exsistiere ein [mm]\delta>0[/mm] so, dass f auf
> [mm]U_{\delta}(x_{0})[/mm] \ [mm]\{x_{0}\}[/mm] differenzierbar ist.
> Exsistiert [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] f'(x), so ist f in
> [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und f' ist in [mm]x_{0}[/mm] stetig, d.h.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} f'(x)=f'(x_{0})[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> habe nun obige Aufgabe zu lösen und ne Idee...
>
> Sei [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] f'(x)=A
>
> Nach MWS exs. [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(G_{x_{0}})[/mm]
> für ein G zwischen [mm]x_{0}[/mm] und x mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f'(G_{x_{0}})=A[/mm]
>
> dann [mm](x\rightarrow\ x_{0}[/mm] folgt [mm]G_{x_{0}}\rightarrow\ x_{0})[/mm]
Hier wäre [mm] $G_x$ [/mm] statt [mm] $G_{x_0}$ [/mm] zu schreiben, denn nur so erhältst Du [mm] $G_x\to x_0$ [/mm] für [mm] $x\to x_0\,.$
[/mm]
>
> Daraus folgt f diffbar in [mm]x_{0}[/mm] und es gilt
> [mm]f'(x_{0})=A=\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] f'(x)
>
> Wobei G dieses andere Zeichen ist, so ein großes
> geschwungendes E (keine Ahnung wie es jetzt heißt).
Du meinst wohl xi, also [mm] $\xi\,.$
[/mm]
>
> Kann man das so tun?? Also ist es schlüssig??
Ja!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Di 15.01.2013 | | Autor: | silfide |
Ja, hast Recht. Danke dir, Wolfgang!
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall. [mm]f:I\to\IR[/mm] in [mm]x_{0} \in[/mm] I
> stetig. Es exsistiere ein [mm]\delta>0[/mm] so, dass f auf
> [mm]U_{\delta}(x_{0})[/mm] \ [mm]\{x_{0}\}[/mm] differenzierbar ist.
> Exsistiert [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] f'(x), so ist f in
> [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und f' ist in [mm]x_{0}[/mm] stetig, d.h.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}} f'(x)=f'(x_{0})[/mm]
Dein Beweis wurde ja schon als richtig erkannt. Alternativ:
Es gilt (o.E. sei stets $x [mm] \in U_\delta(x_0) \setminus \{x_0\}$)
[/mm]
[mm] $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0} \frac{\overbrace{f\,'(x)}^{=(f(x)-f(x_0))\,'}}{\underbrace{1}_{=(x-x_0)\,'}}=\lim_{x \to x_0}f\,'(x)$$
[/mm]
nach de l'Hospital, also existiert [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] (weil nach Voraussetzung
[mm] $\lim_{x \to x_0}f\,'(x)$ [/mm] existiert(!)) mit
[mm] $$f\,'(x_0)=\lim_{x \to x_0}f\,'(x)\,.$$
[/mm]
Insbesondere folgt daraus die Stetigkeit von [mm] $f\,'$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0\,.$ [/mm]
Beachte dabei: Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0$ [/mm] gilt neben [mm] $(x-x_0) \to [/mm] 0$
auch [mm] $(f(x)-f(x_0)) \to 0\$ [/mm] bei $x [mm] \to x_0\,,$ [/mm] so dass de l'Hospital für den
Fall [mm] "$0/0\,$" [/mm] anwendbar ist.
P.S. Der "Witz" an der Sache ist aber, dass ich da 'eigentlich' auch nichts
wirklich anders gemacht habe als Du. Denn de l'Hospital beweist man ja
(etwa) mit dem erweiterten Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Und der
erweiterte Mittelwertsatz trägt den Namen "erweitert" ja nicht ohne Grund.
Ich wollte nur drauf hinaus: Man könnte auch de l'Hospital anwenden...
(Zumindest hoffe ich, dass ich da gerade nichts übersehe und mich nicht
doch täusche...)
P.P.S. Du siehst hier übrigens, dass man i.a. nicht auf die Voraussetzung der
Existenz von [mm] $\lim_{x \to x_0}f\,'(x)$ [/mm] verzichten kann - gerade in der Lösung,
bei der man de l'Hospital anwendet!
Gruß,
Marcel
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