lim sin(x)^x bei x->0? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Memorius |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0}sin(x)^{x} [/mm] |
Hallo!
Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Ich habs mit L'Hopital versucht, aber das tuts nicht.
Weiß jemand Rat?
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Hallo Memorius,
> Berechnen sie den Grenzwert von:
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow 0}sin(x)^{x}$
[/mm]
> Hallo!
>
> Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Ich habs mit
> L'Hopital versucht, aber das tuts nicht.
> Weiß jemand Rat?
Schreibe [mm] $\sin(x)^x$ [/mm] um in [mm] $e^{\ln(\sin(x)^x)}=e^{x\ln(\sin(x))}$
[/mm]
Das klappt nur für [mm] $\sin(x)>0$, [/mm] also für hinreichend kleine $x>0$
Also ist in der Aufgabe wohl der rechtsseitige Limes gemeint?!
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion ist [mm] $\lim\limts_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten [mm] $x\ln(\sin(x))$ [/mm] heraus und untersuche, was er für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ anstellt
Tipp: Schreibe [mm] $x\ln(\sin(x))=\frac{\ln(\sin(x))}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Wenn ich das so auf die Schnelle sehe, kommst du mit zweimaliger Anwendung der Regel von de l'Hôpital auf den GW.
Nachher aber noch [mm] $e^{GW}$ [/mm] nehmen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Memorius |
Hallo!
Ich komme da auf keinen grünen Zweig:
[mm] \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}} [/mm] gibt nach l'Hopital [mm] \bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{- \bruch{1}{x²}}
[/mm]
und das wiederum (ebenfalls nach l'Hopital) [mm] \bruch{\bruch{cos²(x)}{-sin²(x)} - 1}{\bruch{2}{x^{3}}}
[/mm]
Und es findet kein Ende.
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Hallo nochmal,
> Hallo!
>
> Ich komme da auf keinen grünen Zweig:
>
> [mm]\bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}[/mm] gibt nach l'Hopital
> [mm]\bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{- \bruch{1}{x²}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und das wiederum (ebenfalls nach l'Hopital)
> [mm]\bruch{\bruch{cos²(x)}{-sin²(x)} - 1}{\bruch{2}{x^{3}}}[/mm]
fasse das erste Ergebnis der ersten Anwendung von de l'Hôpital erstmal zusammen:
[mm] $\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{-\frac{1}{x^2}}=-\frac{x^2\cdot{}\cos(x)}{\sin(x)}$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ nun wieder gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital.
Es ergibt sich nun mit der nächsten "l'Hôpital-Kur" der GW des Exponenten ...
>
> Und es findet kein Ende.
Doch 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Memorius |
Kopf->Tisch
Ich sitz da, hämmer in meinen Taschenrechner statt immer kleineren Zahlen immer größere Zahlen rein und wunder mich, wieso bei mir bei dieser Aufgabe 1 als GW rauskommt und im Taschenrechner 0.
Danke sehr. :)
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
hehe
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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