limes-aufgabe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Mo 23.04.2007 | | Autor: | svenja83 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] zwei konvergente Zahlenfolgen und es gelte [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] f.a. n [mm] \in \IN
[/mm]
Zeige, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich versuche zu folgender Aufgabe mal ein Lösungsansatz.
Ich muss ja zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}, [/mm] also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \ge [/mm] 0
Nun habe ich in unserem Buch (Otto Forstner: Analysis 1) einige Sätze gefunden, die ich anwenden kann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] b_{n} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] ) = b - a
(a und b sind die jeweiligen Grenzwerte)
Kann ich jetzt irgendwie von b-a auf [mm] b_{n} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] > 0 schließen? Dann wäre das ganze ja schon bewiesen?
Wahrscheinlich fehlt hier aber noch ein kleiner Schritt, oder?
Wäre dankbar für einen kleinen Tipp 
liebe Grüße
Svenja
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 23.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo Svenja!
Wir haben den Beweis so erbracht:
Annahme: a > b.
So wäre [mm] \varepsilon:= [/mm] (a-b)/2 > 0, fast alle [mm] a_{n} [/mm] wären in [mm] U_{\varepsilon}(a), [/mm] fast alle [mm] b_{n} [/mm] in [mm] U_{\varepsilon}(b) [/mm] enthalten und [mm] U_{\varepsilon}(a) [/mm] würde rechts von [mm] U_{\varepsilon}(b) [/mm] liegen. Widerspruch, denn wir hätten dann [mm] a_{n} [/mm] > [mm] b_{n} [/mm] für fast alle n.
Und Achtung: aus [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] für alle n folgt nicht a < b, sondern a [mm] \le [/mm] b. Wähle z.B. [mm] a_{n}:=0 [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für alle n.
lg dena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 12:27 Mo 23.04.2007 | | Autor: | svenja83 |
Hallo, ihr zwei!
Vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort und danke, dena, für den Beweis - ich habs verstanden !!!!
Besten Dank und liebe Grüße
Svenja
|
|
|
| |
|
> Seien [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] zwei konvergente Zahlenfolgen und es
> gelte [mm]a_{n}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm] f.a. n [mm]\in \IN[/mm]
> Zeige, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \le \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]b_{n}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] ) = b - a
> (a und b sind die jeweiligen Grenzwerte)
>
> Kann ich jetzt irgendwie von b-a auf [mm]b_{n}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] > 0
> schließen? Dann wäre das ganze ja schon bewiesen?
>
> Wahrscheinlich fehlt hier aber noch ein kleiner Schritt,
> oder?
Hallo,
so wie Du es planst, wird das vermutlich nicht klappen.
Was tust Du? Du definierst eine Folge [mm] (c_n) [/mm] durch [mm] c_n:=b_n-a_n.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] c_n>0.
[/mm]
HÄTTEST Du beits bewiesen, daß in diesem Fall der Genzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c_n\ge [/mm] 0 ist, wärest Du in der Tat fertig,
denn Du hättest [mm] 0\le \limes_{n\rightarrow\infty}c_n=\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n.
[/mm]
Nur ich fürchte, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c_n\ge [/mm] 0 für [mm] c_n\ge [/mm] 0 noch nicht bewiesen ist.
In diesem Fall kannst Du es dann machen, wie dena sagt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
