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| Aufgabe | Man beweise:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n!}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n + b^n} [/mm] = max(a,b)
Hinweis zu a): Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes beweise man zunächst, dass für jede reele Zahl x [mm] \ge [/mm] 0 und jede natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 2 gilt:
(1 + [mm] x)^n [/mm] > [mm] \bruch{n^2}{4} x^2. [/mm] |
Hallo, ich habe zu dieser Aufgabe bisher noch keinen richtigen Ansatz gefunden_ich würde ja sagen, dass die Gleichung in a) und b) einfach aus dem Grund stimmt, weil die n-te Wurzel als hoch 1/n geschrieben werden kann. 1/n geht ja wenn n gegen unendlich läuft gegen 0_und irgendetwas hoch 0 ist ja eigentlich immer 1. Aber das erklärt ja dann nicht, warum c) und d) stimmen müssen...
Über einen guten (und gut erklärten) Ansatz würde ich mich freuen_
(PS: Ich bin im ersten Semester_habe also erst seit 3 Wochen mit hoher Mathematik zu tun_daher bitte falls möglich, ausführlich wie möglich erklären.)
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Ich probiere mal einen Ansatz:
Du musst einen Grenzwert beweisen, d.h. du hast zwei Möglichkeiten: Entweder mit den Grenzwertsätzen selbst berechnen (was in deinem Fall aber nicht geht, da es keinen Grenzwertsatz für Potenzen gibt) oder du musst das [mm] \epsilon [/mm] - Kriterium anwenden. D.h., du musst zeigen dass du zu jedem noch so klein gewähltem [mm] \epsilon [/mm] ein n findest, ab dem alle Folgenglieder "vom [mm] \epsilon [/mm] - Schlauch um den Grenzwert eingeschlossen werden".
D.h. du musst konkret folgendes zeigen (Definition des Grenzwerts):
[mm]|a_{n} - a| < \epsilon[/mm]
Die Werte kannst du aus a) ja einfach einsetzen, da der Grenzwert vorgegeben ist. Dein Ziel ist es jetzt, die Ungleichung so umzustellen und abzuschätzen, dass auf einer Seite ein Term mit [mm] \epsilon [/mm] steht und auf der anderen Seite nur "n". Wenn du dann für alle beliebig kleine [mm] \epsilon [/mm] s vernünftige n-Werte herausbekommst (und nichts negatives etc.), zeigst du dann logischerweise, dass die Definition des Grenzwerts erfüllt ist.
Wir setzen also ein:
[mm]|a_{n} - a| < \epsilon[/mm]
[mm]\gdw |\wurzel[n]{n} - 1| < \epsilon[/mm]
Für den weiteren Verlauf solltest du dir folgende Seite ansehen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=42119
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| Aufgabe | Aber man soll ja bei a) mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen, dass die Gleichung in dem "Hinweis" stimmt.
Wie mache ich das? |
D.Q.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrQuagga!
Wir sollen also den binomischen Lehrsatz verwenden, der lautet:
[mm] $$(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k$$
[/mm]
Wenden wir das an auf [mm] $(1+x)^n$ [/mm] erhalten wir:
[mm] $$(1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*1^{n-k}*x^k [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*x^k [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n\\0}*x^0+\vektor{n\\1}*x^1+\vektor{n\\2}*x^2+...$$
[/mm]
Schätze nun ab, um die genannte Ungleichung zu erhalten.
Gruß
Loddar
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