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| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge von reellen Zahlen und [mm] A_{n}=(-\infty, x_{n}).
[/mm]
Man zeige: [mm] (-\infty, \liminf_{n->\infty}x_{n})\subset \liminf_{n->\infty} A_{n}\subset \limsup_{n->\infty} A_{n}\subset (-\infty, \liminf_{n->\infty}x_{n}]. [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand dabei helfen?
Bitte. Hab keine Ahnung wie das geht.
Wie sähe ein Element aus der Menge [mm] (-\infty, \liminf_{n->\infty}x_{n}) [/mm] aus, wo genau ist der Unterschied zu einem Element aus [mm] A_{n}?
[/mm]
LG
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Tut mir leid, hatte einen Fehler in der Aufgabenstellung. Hier die korrigierte:
> Man zeige: [mm] (-\infty, \liminf_{n->\infty}x_{n})\subset \liminf_{n->\infty} A_{n}\subset \limsup_{n->\infty} A_{n}\subset (-\infty, \limsup_{n->\infty}x_{n}].
[/mm]
Ich habe mittlerweile herausgefunden wie ich zeigen kann, dass
[mm] \liminf_{n->\infty} A_{n}\subset \limsup_{n->\infty} A_{n}
[/mm]
aber bei den anderen beiden Teilmengenbeziehungen komme ich nicht voran. Bitte, gebt mir zumindest eine Idee.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Wenn die Aufgabe statt mit einer (-Klammer mit einer [-Klammer begönne, hätte ich eine Idee. Du auch?
Nachtrag: hmmmm, vielleicht doch nicht. Eigentlich braucht der zweite Term rechts eine eckige Klammer, oder etwa nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](x_{n})[/mm] eine Folge von reellen Zahlen und
> [mm]A_{n}=(-\infty, x_{n}).[/mm]
> Man zeige: [mm](-\infty, \liminf_{n->\infty}x_{n})\subset \liminf_{n->\infty} A_{n}\subset \limsup_{n->\infty} A_{n}\subset (-\infty, \limsup_{n->\infty}x_{n}].[/mm]
zu dem ersten [mm] $\subset$:
[/mm]
die Aussage wird wohl klar sein, wenn [mm] $\liminf x_n=\infty$ [/mm] (ich erspare es mir, $n [mm] \to \infty$ [/mm] unter den [mm] $\lim$ [/mm] zu schreiben). Auch den Fall [mm] $\liminf x_n=-\infty$ [/mm] solltest Du Dir überlegen.
Sei nun also [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge mit [mm] $x_0:=\liminf x_n \not=\pm \infty\,.$ [/mm]
Sei nun $x [mm] \in (-\infty,x_0)$ [/mm] beliebig, aber fest. Sei [mm] $\varepsilon:=(x_0-x)/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Wegen $x < [mm] x_0$ [/mm] liefert Dir ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.20 2. gerade $x [mm] \in A_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_\varepsilon$ [/mm] (mit [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] aus Satz 5.20 2.)
(Beachte: [mm] $x_0-\varepsilon=\frac{x+x_0}{2} [/mm] > [mm] x\,.$)
[/mm]
Daraus folgt das erste [mm] $\subset$.
[/mm]
Das letzte [mm] $\subset$ [/mm] kannst Du Dir analog überlegen.
P.S.:
Vielleicht brauchst Du den Satz 5.20 so gar nicht, sondern schaust einfach in den Beweis da rein. Alleine mit den Dingen, die dort im Beweis drin stehen, sollte sich die obige Behauptung beweisen lassen. Aber ich bin ein fauler Mensch und da ich den Satz kenne und zur Verfügung habe, habe ich hier einfach nur darauf verwiesen 
(Strenggenommen muss man da eh ein wenig aufpassen, denn bei dieser Formulierung des Satzes wird von einer beschränkten Folge gesprochen; aber schau' halt mal, warum man das fordert und warum ich den Satz hier dennoch beim Beweis zum ersten [mm] $\subset$ [/mm] anwenden kann, obwohl die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht notwendig beschränkt ist. Wichtig ist oben eigentlich nur, dass wegen [mm] $x_0 \not=-\infty$ $(x_n)_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist.)
Gruß,
Marcel
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