lin. Abb mit versch. R < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe bereits eine Frage zu lin. Abbildungen gestellt, aber ich habe eine recht ähnliche und doch andere Aufgabe, die ich vieleicht erst noch lösen sollte.
Ich habe die lineare ABbildung vom [mm] R^4 [/mm] in den [mm] R^3. [/mm] Die (in Aufgabenstellung geforderte) Abbildungmatrix ist:
1 1 1 1
1 2 2 3
-2 -1 -1 0
Ich soll aber nun die Abbildungsmatrix bezüglich der kanonischen Basen in [mm] R^4 [/mm] UND [mm] R^3, [/mm] sowie den Kern dieser Abbildung (durch Angabe einer Basis) bestimmen.
Ich habe mir zu linearen Abbildungen gemerkt: Man setzt die Matrix in der Regel gleich dem Nullvektor und löst es dann wie ein ganz normales Gleichungssystem mit Gauß (wobei ich den Nullvektor auch weglassen kann, da hier ohnehin immer nur Nullen vorkommen werden).
Aber was macht hier der Unterschied [mm] R^3 [/mm] und [mm] R^4? [/mm] Im [mm] R^4 [/mm] hätte ich einfach eine Nullzeile hinzugefügt, Gauß benutzt und dann beim Kern für den [mm] R^3 [/mm] die letzte (also 4. Zeile) weggelassen.
Ist das richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Di 20.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich habe den Fälligkeitszeitpunkt vielleicht zu optimistisch gewählt. Gibt es hier jemanden, der mir bei der Aufgabe weiterhelfen kann?
Falls etwas unklar ist, werde ich mich bemühen es klarer auszudrücken!
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Hallo,
also damit du die Abbildungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis aufstellen kannst, müssen mindestens die Basen angegeben sein, für die diese Matrix darstellende Matrix der linearen Abbildung ist.
Als nächstes multiplizierst du deine Basisvektoren vom Urbildraum nacheinander (Reihenfolge ist wichtig!) mit der Matrix, und bestimmst den Koordinatenvektor von den erhaltenen Vektoren bezüglich der anderen Basis.
Die gesuchte Abbildungsmatrix besteht dann aus [mm] B=\pmat{ \overline{b}_1 & \overline{b}_2 & \overline{b}_3 & \overline{b}_4 }, [/mm] wenn jetzt die [mm] \overline{b}_i [/mm] die Koordinatenvektoren sind.
Ich hatte mal eine ähnliche Frage gestellt, und man hat mir die Lösung sehr schön erklärt! (www.matheraum.de/read?t=485697)
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Di 20.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Hallo,
lieben Dank! :)
Aber ich glaube, dass das nicht die Lösung für meine Aufgabe darstellt, oder ich verstehe deine Lösung nicht. :/ Urbildräume kenne ich (bisher) nicht. Der Begriff sagt mir leider nichts.
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Hallo,
wenn Du nicht die komplette Aufgabenstellung, also auch die beiden Basen bzgl derer die Matrix die darstellnde Matrix ist, mit angibst, wird man Dir nicht helfen können.
Die Augabenstellung ist genau die kuemmelsches Aufgabe, ein Nachrechnen dieser wäre sicher ein Gewinn für Dich.
Danach kannst Du Dich dann an Deiner eigenen Aufgabe versuchen.
Gruß v. Angela
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Ich stelle nochmal die gesamte Aufgabe, wie sie im Original steht. Ich komme mich der Lösung von kümmelsche hier nicht weiter.
Gegeben sei die lineare Abbildung
[mm] \varphi:\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix}
x_1+ & x_2+ & x_3+ & x_4 \\
x_1+ & 2x_2+ & 2x_3+ & 3x_4 \\
-2x_1- & x_2- &x_3
\end{pmatrix} \end{Bmatrix} [/mm]
[mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^3
[/mm]
Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix bezüglich der kanonischen Basen in [mm] R^4 [/mm] und [mm] R^3 [/mm] und den Kern der Abbildung (durch Angabe einer Basis).
Ich bin maßlos überfordert.
Kerne haben wir bestimmt indem wir die Matrix gleich dem Nullvektor gesetzt haben (mache ich das nicht einfach immer bei linearen Abbildungen? Oder kann ich den Nullvektor nicht sogar weglassen?) und dann geschaut haben, was nach Umformung neben der Einheitsmatrix stehen geblieben ist und das eben jeweils soweit ergänzt haben, wir wir einen Vektor von 3 Zeilen (im Falle eines [mm] R^3)oder [/mm] 4 Zeilen (im Falle eines [mm] R^4) [/mm] haben.
Aber was soll der erste Teil der Aufgabe mir sagen'?
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Ich denke schon, dass dich die Antwort die ich auf meine Frage bekommen hab, helfen wird.
Bild doch einfach mal die kanonischen Basisvektoren im [mm] \R^4 [/mm] mit der linearen Abbildung ab, und bestimme dann den Koordinatenvektor der erhaltenen Vektoren bezüglich der kanonischen Basis im [mm] \IR^3.
[/mm]
lg Kai
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So oft ich mir deine Aufgabe auch ansehe, ich sehe hier keine Verbindung.
Du hast dort irgendwelche Basen gegeben und rechnest dann damit weiter. Wir haben so etwas nie gemacht.
Entweder wir haben eine lineare Abbildung gleich dem Nullvektor gesetzt, dann Nullraum/Kern bestimmt (also das, was neben der Einheitsmatrix nach Gaußumformung stehen bleibt) oder wir hatten ein Gleichungssystem der Form Ax=b, das wird lösen sollten.
Ich habe noch nie mit so einer Aufgabenstellung gearbeitet. Bekomme ich nachher 2 Lösungen? Was sind denn die beiden geforderten Abbildungsmatrizen?
Ich stehe komplett auf dem Schlauch, tut mir leid :(
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Bei meiner Aufgabe hatte ich einfach nur eine darstellende Matrix und die dazugehörigen Basen und sollte die darstellende Matrix bezüglich der anderen Basen bestimmen. Ob ich nun eine lineare Abbildung oder die darstellende Matirx gegeben habe ist doch völlig egal, der Ausdruck A(v) als Abbildung ist doch gleichwertig mit A*v als Matirx multipliziert mit einem Vektor. Es ändert sich im Prinzip, wenn du deine und meine Frage vergleichst, nur der Weg, wie du ganz am Anfang auf die Vektoren kommst. Der einzige weitere Unterschied ist dann nur, das meine Basis nicht die kanonische war, aber das macht das ganze nur noch leichter!
lg Kai
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> Ich stelle nochmal die gesamte Aufgabe, wie sie im Original
> steht. Ich komme mich der Lösung von kümmelsche hier nicht
> weiter.
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> Gegeben sei die lineare Abbildung
>
> [mm]\varphi:\begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix}
x_1+ & x_2+ & x_3+ & x_4 \\
x_1+ & 2x_2+ & 2x_3+ & 3x_4 \\
-2x_1- & x_2- &x_3
\end{pmatrix} \end{Bmatrix}[/mm]
>
> [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^3[/mm]
>
> Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix bezüglich der
> kanonischen Basen in [mm]R^4[/mm] und [mm]R^3[/mm] und den Kern der Abbildung
> (durch Angabe einer Basis).
>
> Aber was soll der erste Teil der Aufgabe mir sagen'?
Hallo,
achso! Jetzt sieht die Aufgabe ja doch etwas anders aus als eingangs von Dir gepostet. Die ließ nämlich eine andere Aufgabenstellung vermuten. Entspann Dich also...
Die gesuchte Matrix ist die, die Du im ersten Post gepostet hattest, [mm] \pmat{1&1&1&1\\1&2&2&3\\-2&1&-1&0}. [/mm] Du kanst das also bereits.
Wenn da steht "Abbildungsmatrix" oder "Darstellungsmatrix" oder " "Abbildungsmatrix/Darstellungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis/Standardbasen" ,dann ist haargenau das zu tun, was Du getan hast.
Gruß v. Angela
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Super, danke!
Aber was ist nun noch mit dem Zusatz [mm] R^3 [/mm] und [mm] R^4? [/mm] Das ist die erste Aufgabe, die so lautet und da wusste ich nicht, was ich mit der Abbildungsmatrix machen soll (ich muss ja offenbar 2 aufstellen?) und womit ich dann den Kern bestimmen soll.
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> Super, danke!
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> Aber was ist nun noch mit dem Zusatz [mm]R^3[/mm] und [mm]R^4?[/mm] Das ist
> die erste Aufgabe, die so lautet und da wusste ich nicht,
> was ich mit der Abbildungsmatrix machen soll (ich muss ja
> offenbar 2 aufstellen?) und womit ich dann den Kern
> bestimmen soll.
Ruhig Blut! Alles geht wie immer.
Dieses [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] bedeutet, daß die Abbildung [mm] \varphi, [/mm] die gerade betrachtet wird, Vektoren mit 4 Komponenten auf solche mit drei Komponenten abbildet, mehr steckt nicht dahinter.
An der Abbildungsmatrix zeigst sich das darin, daß sie 3 Zeilen und 4 Spalten hat, das hast Du ja schon völlig richtig gemacht.
Bestimme den Kern nun haargenau wie immer. Es is wirklich keine Falle eingebaut.
Da die Abbildung vom [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] geht, wird der Kern Vektoren mit 4 Komponenten enthalten und das Bild solche mit dreien.
Gruß v. Angela
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Mich verwirrte eben, wieso hier nochmnal zwischen [mm] R^3 [/mm] und [mm] R^4 [/mm] unterschieden wird.
Mit Gauß bekomme ich nun
1 0 0 -1
0 1 1 2
0 0 0 0
Mein Kern wäre also:
0 -1
1 sowie 2
-1 0
0 -1
Ist das nun die Lösung?
Dazu habe ich doch glatt noch eine Frage zu einem Beispiel.
Ich habe die Abbildungsmatrix
0 0 3
0 2 0
1 1 1
Muss ich eigentlich nun noch rechts den Nullvektor hinschreiben, wenn ich damit weiterrechnen will, zB wenn ich wieder den Kern bestimmen soll?
Sollten mir hier eigentlich die Nullen oben links in der Ecke etwas sagen? Ich könntre ja zB jetzt schnell die Determinante berechnen, aber bringt mir das etwas?
Um den Kern zu bestimmen muss ich doch wieder so lange rechnen, bis ich die Einheitsmatrix habe, oder?
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> Mich verwirrte eben, wieso hier nochmnal zwischen [mm]R^3[/mm] und
> [mm]R^4[/mm] unterschieden wird.
> Mit Gauß bekomme ich nun
>
> 1 0 0 -1
> 0 1 1 2
> 0 0 0 0
>
> Mein Kern wäre also:
>
> 0 -1
> 1 sowie 2
> -1 0
> 0 -1
>
> Ist das nun die Lösung?
Hallo,
vorausgesetzt, die ZSF stimmt, was ich nicht nachgerechnet habe, dann ist das der Kern bzw. eine Basis des Kerns.
>
> Dazu habe ich doch glatt noch eine Frage zu einem
> Beispiel.
>
> Ich habe die Abbildungsmatrix
>
> 0 0 3
> 0 2 0
> 1 1 1
>
> Muss ich eigentlich nun noch rechts den Nullvektor
> hinschreiben, wenn ich damit weiterrechnen will, zB wenn
> ich wieder den Kern bestimmen soll?
Nein, das erspart man sich. Ob da Nullen stehen oder nicht, ist für die rechnung egal. In der Spalte mit den Nullen rührt sich doch absolut nichts.
>
> Sollten mir hier eigentlich die Nullen oben links in der
> Ecke etwas sagen?
Die sind halt da, weil die Abbildung so ist.
> Ich könntre ja zB jetzt schnell die
> Determinante berechnen, aber bringt mir das etwas?
Man berechnet ja nicht einfach mal so aus Lust und Laune wie man 'ne exotische Frucht kauft 'ne Determinante und guckt dann, wozu man sie gebrauchen kann.
Ich sag' mal so: bei diesen Aufgaben mit Abbildungsmatrizen, Kernen (=Nullraum), Bildern wirst Du i.d.R. mit der Zeilenstufenform froh.
Um aber doch die Frage zu beantworten: die Determinante ist [mm] \not=0, [/mm] und Du siehst daran, daß die Abbildungsmatrix invertierbar ist.
> Um den Kern zu bestimmen muss ich doch wieder so lange
> rechnen, bis ich die Einheitsmatrix habe, oder?
Bis zur reduzierten Zeilenstufenform, und im vorliegenden Fall ist das die Einheitsmatrix.
Gruß v. Angela
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