lin. Abbildung und Minimalpoly < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \phi [/mm] : K[x] [mm] \to [/mm] K[x] mit [mm] f\phi [/mm] = x * f für f [mm] \in [/mm] K[x]. Man zeige, dass [mm] \phi [/mm] eine lineare Abbildung des K-Vektorraums K[x] ist und bestimme sein Minimalpolynom. |
Hallo.
Also bei der Linearität der Funktion muss ich doch eigentlich nur die multiplikative und die additive Abgeschlossenheit zeigen, oder?
Seien f, g [mm] \in [/mm] K[x] und [mm] \lambda \in [/mm] K. Dann gilt:
(f + [mm] s)\phi [/mm] = x * (f + s) = x * f + x * s = (x * f) + (x * s) = [mm] f\phi [/mm] + [mm] s\phi
[/mm]
[mm] (\lambda f)\phi [/mm] = x * [mm] \lambda [/mm] f = [mm] \lambda [/mm] x * f = [mm] \lambda [/mm] (x * f) = [mm] \lambda (f\phi)
[/mm]
Somit habe ich doch nun bereits gezeigt, dass es sich bei [mm] \phi [/mm] um eine lineare Abbildung des K-Vektorraums K[x] handelt, oder?
Mit dem Minimalpolynom habe ich immer noch so meine Probleme, und weiß immer nicht, wie ich das bestimmen kann und würde mich daher über einige Hilfe dabei freuen.
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Sieht doch prima aus.
Ich denke, die Frage nach dem Minimalpoynom ist eher eine "Denkaufgabe":
Was bewirkt $ [mm] \phi [/mm] $ auf der Standardbasis des K[x] als K-Vektorraum?
(Deshalb bekommt $ [mm] \phi [/mm] $ auch später einen eigenen Namen!)
Gesucht ist ein Polynom $p(x)$ kleinsten Grades, so dass [mm] $p(\phi [/mm] )$ die Nullabbidlung ist. Dann muss p aber schon das Nullpoynom sein.
Das korrekt aufzuschreiben ist aber nicht ganz so einfach, Du könntest hier wiederum mit der Standardbasis des K[x] als K-Vektorraum arbeiten.
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Hallo.
Danke für die rasche Antwort. Das freut mich, dass der erste Teil schon mal richtig ist.
Ich betrachte nun mal ein Polynom [mm] \phi^n [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] * [mm] \phi^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] * [mm] \phi [/mm] + [mm] a_0 [/mm] * ID. Wenn man in dieses Polynom nun 1 einsetzt, liefert [mm] \phi^n [/mm] das Polynom [mm] x^n [/mm] und alle anderen liefern Polynome vom Grad < n. So kann das Minimalpolynom also leider nicht entstehen.
Somit kann es nur das 0-Polynom sein, aber das ist doch so kein Beweis, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das Probelm ist folgendes:
Wie willst Du überhaupt einen Endomorphismus [mm] $\psi$ [/mm] auf K[x] angeben?
Eine Möglichkeit besteht darin, dass Du angibst, was [mm] $\psi$ [/mm] auf einer Basis von K[x] als K-Vektorraum "macht".
Das sind aber unendlich viele Angaben.
Oder anders:
Wenn Du [mm] $\psi$ [/mm] als Matirx darstellen willst (bzgl. einer Basis von K[x] als K-VR), so erhälst Du eine "unendlich große" Matrix ...
Trotzdem kann man das beispielsweise für das angegebene [mm] $\phi$ [/mm] noch aufschreiben. Das liegt aber daran, dass [mm] $\phi$ [/mm] nicht besonders kompliziert ist.
Rückfrage:
Wie sieht [mm] $\phi$ [/mm] als Matrix bzgl. der Standardbasis aus?
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Hallo.
Also ich kann dir leider nicht sagen, wie das [mm] \phi [/mm] als Matrix bezüglich der Standardbasis auszusehen hat, da wir so etwas noch nicht in der Vorlesung behandelt haben.
Kannst du mir da vielleicht einen Tipp geben, wie man so etwas angeben kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Kann ich mir fast nicht vorstellen, dass Ihr das in der Vorlesung noch nicht gemacht habt. Aber möglich ist alles.
Erst einmal zur Standardbasis:
$1, x, [mm] x^2, [/mm] x ^3, ...$ also alle Monome in x bilden eine K-Basis von K[x] als K-VR.
Die Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] bildet die 1 auf x, x auf [mm] $x^2$ [/mm] usw. ab. Also einen Basisvektor stets auf den Folgebasisvektor.
Man könnte das auch "shiften" nennen.
In Matrixform hättest Du eine "unendliche" Matrix mit lauter Nullen, nur auf der sogenannten Nebendiagonalen stehen lauter Einsen.
Damit Du das verstehst, müsstest Du aber die erste Hürde der linearen Algebra (Darstellungen von Endomorphismen eines K-VR über eine Basis des K-VR verstanden haben).
Wenn Ihr das noch nicht gemacht habt, ist der Kram den ich hier tippe eh unsinnig.
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Hallo.
Also die Basis haben wir auch so angegeben... das ist doch schon mal etwas. Nun bin ich mir noch nicht ganz sicher, wie ich daraus nun die Matrix basteln kann. Es muss da doch irgendwie eine Vorgehensweise geben, wie man vorgeht um die Matrix aufzustellen. Wenn ich das richtig verstanden habe, wäre die Matrix also die Matrix die stehts an den Stellen a_ii = 0 besitzt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Die Darstellung über Matrizen ist nicht so banal, wie man erst einmal vielleicht denkt.
Die Idee ist folgende:
Wenn Du eine Basis des VR kennst, so lässt sich jedes Element über die Basis eindeutig als Linearkombination darstellen. So erhält man bei fester Wahl der Basis eine expilzite Darstellung aller Vektoren.
Für eine linearen Abbildung gilt nun, dass es ausreichend ist anzugeben, worauf sie jedes Basiselement abbildet. (Für einen beliebigen Vektor kann man das Bild nun über Linearität der Abbildung eindeutig herleiten).
Jedes Basisbild wird wiederum als Linearkombination der Basis angegeben. Packt man das alles zusammen, ergibt sich schliesslich die Darstellung einer linearen Abb. durch Matrizen bei fester Wahl einer Basis (eigentlich nur so etwas wie eine Tabelle mit Einträgen aus dem Körper).
Mit der Nebendiagonalen bezeichnet man die "Nachbardiagonale" der Hauptdiagonalen (geht von links oben nach rechts unten). Die Nebendiagonale besteht also aus den Nachbareinträgen links von der Hauptdiagonalen ...
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Hi.
Danke für deine Antwort. Dann müsste die Matrix also so aussehen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] (2x2)
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] (3x3)
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] (4x4)
...
Und wie lese ich daraus nun das Minimalpolynom ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das sind beispiele für endlich dimensionale VR und entsprechende Endomorphismen.
Die angegeben Matrizen besitzen stets das charakteristische Polynom [mm] $x^i=0$ [/mm] (i=2,3,4 usw.)
Allgemein kann man beweisen, dass das Minimalpolynom stets ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.
In den obigen Fällen reicht es daher aus folgendes zu untersuchen (A bezeichnet die jeweilige Matrix):
A = 0 (Nullmatrix) ?
[mm] A^2=0 [/mm] (Nullmatrix) ?
[mm] A^3=0 [/mm] (Nullmatrix) ?
[mm] A^4=0 [/mm] (Nullmatrix) ?
usw.
Sei l kleinste Potenz, für die die Nullmatrix herauskommt. Dann lautet das Minimalpoynom:
[mm] $x^l$
[/mm]
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Hallo.
Das ist sehr interessant, was du da schreibst. Ich hoffe, dass du das noch rechtzeitig liest.
Ich soll in einer anderen Aufgabe zeigen: Sei dim V = n und m [mm] \in \IN [/mm] mit 1 <= m <= n. Man zeige, dass eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] existiert, deren Minimalpolynom [mm] x^m [/mm] ist.
Kann man dann nicht sagen, dass [mm] \phi [/mm] (aus meiner Aufgabe) dem [mm] \alpha [/mm] entspricht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Definiere Dir [mm] $A_m$ [/mm] als die $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix mit genau m Einsen in Folge auf der Nebendiagonalen, dann hat [mm] $A_m$ [/mm] gerade [mm] $x^m$ [/mm] als Minimalpolynom.
Für Dich noch zur Übung:
Rechne für n=5 einmal die Potenzen von [mm] $A_4$ [/mm] aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Di 01.05.2007 | | Autor: | teletubbi |
[mm] A^1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] A^4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
[mm] A^5 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0}
[/mm]
Korrekturen sind immer erwünscht!
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