lin. Unabh., Basis, Erzeugende < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] = (3,0,3,6) [mm] v_{2} [/mm] = (2,-1,1,2) [mm] v_{3} [/mm] = (-1,1,0,0) [mm] v_{4} [/mm] = [mm] (0,1,2,\pi) v_{5} [/mm] = [mm] (2,1,4,4+\pi) \in \IR^4.
[/mm]
Entscheiden Sie ob, die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind und begründen Sie ihre Antwort (gegebenenfalls mit einer Rechnung).
(a) Die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sind linear unabhängig.
(b) Die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] bilden eine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3})
[/mm]
(c) Die Vektoren [mm] v_{1}, v_{2},v_{4},v_{5} [/mm] bilden eine Basis von [mm] \IR^4.
[/mm]
(d) Die Vektoren [mm] v_{2},v_{3},v_{4},v_{5} [/mm] sind linear unabhängig.
(e) Die Vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{4} [/mm] bilden ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3.
[/mm]
(f) Der Vektorraum [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5}) [/mm] hat Dimension 3. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
(a) Die Vektoren sind nicht linear abhängig, da [mm] x_{1}\vec{ v_{1}} [/mm] + [mm] x_{2}\vec{ v_{2}} \not= [/mm] 0 .
(b) Unsere Lineare Hülle hat 3 Einträge. Falls die Vektoren/Einträge nicht linear Abhängig sind spannt sie somit einen 3 Dimensionalen Körper/Raum auf. Da [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] nur 2 Dimension haben, können Sie auch keine Basis von [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] sein.
(Anmerkung: Zudem ist unser [mm] v_{3} [/mm] weder von [mm] v_{1} [/mm] noch von [mm] v_{2} [/mm] lin. Abhängig)
Ich habe auch nachgesen ob einige der Vektoren linear Abhängig sind, um leichter Aussagen machen zu können, und habe folgendes heraus gebracht:
[mm] v_{1}= \vektor{3\\0\\3\\6}, v_{5}- v_{4}= \vektor{2\\0\\2\\4}
[/mm]
es folgt:
3/2 [mm] \vektor{2\\0\\2\\4} [/mm] - [mm] \vektor{3\\0\\3\\6} [/mm] = 0
Also sind die 3 Vektoren linear Abhängig (spannen eine Ebene auf)
somit währen (c) und (d) unwahr.
(e) Die Vektoren sind linear Unabhängig (man bekommt das [mm] \pi [/mm] einfach nicht weg) und bilden somit sowohl Basis als auch Erzeugendensystem von [mm] \IR^3
[/mm]
(f) wir haben eine Ebene und 2 Vektoren die linear Unabhängig sind. Also trifft die Aussage zu.
Ich würde mich über Korrekturvorschläge sehr freuen, und danke schonmal allen fleißigen Helfern im Voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Stoecki |
bis auf die b richtig. einige deiner begründungen gefallen mir allerdings nicht:
zu a: es fehlt: für [mm] x_{i} \not= [/mm] 0 für ein i
zu b:
[mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] (die lineare hülle?) könnte durch 2 vektoren dargestellt werden, wenn [mm] v_{1}, v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] linear abhängig wären. wie ist das hier? [mm] v_{3} [/mm] kann durch [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] dargestellt werden. ergo ist [mm] L(v_{1},v_{2},v_{3}) [/mm] = [mm] L(v_{1},v_{2})
[/mm]
zu c, d und e: die sind okey, wobei ich das bei der e anders formuliert hätte. einfach dass es keine nichttriviale linearkombi der 0 gibt.
zu f: anders begründen. stelle zwei vektoren mit der hilfe der anderen dar und zeige, der rest ist linear unabh.
gruß bernhard
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