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lin. unab. / abh.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Do 25.02.2010
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Gegeben sind die folgenden Aussagen zu vektoren [mm] v,w_1,...,w_k [/mm] in einem Vektorraum V. Welche Aussagen sind wahr und welche sind falsch ? Für wahre Aussagen geben Sie einen Beweis, für die falschen geben Sie ein gegenbeispiel.

(i) Sei [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear abhängig, dann ist $ v [mm] \in Sp(w_1,...,w_k) [/mm] $

(ii) Sei [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear unabhängig, dann ist $ v [mm] \notin Sp(w_1,...,w_k) [/mm] $

(iii) Sei [mm] V=Sp(w_1,...,w_k) [/mm] und $ v [mm] \in [/mm] V $ dann ist [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] linear abhängig.

Hallo,

mein problem liegt glaube ich bei (i) . Ich glaube (i) ist falsch, weil [mm] \{w_1,...w_k\} [/mm] linear unabhängig sein müsste, damit das wahr wäre.
Mir fällt aber kein gegenbeispiel ein.
Liege ich mit meiner Einschätzung soweit richtig ?

(ii)  ist wahr. keiner der vektoren kann als linearkombination der anderen geschrieben werden, daher ist auch v keine linear kombination aus den [mm] w_i's. [/mm]

(iii) Wenn v [mm] \in [/mm] V . dann kann es als linearkombination der [mm] w_i's [/mm] geschrieben werden. daher ist es in [mm] Sp(w_1,...,w_k). [/mm]

Stimmt das soweit ?

Lg,

exe

        
Bezug
lin. unab. / abh.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Do 25.02.2010
Autor: fred97

Zu (i). Betrachte k=1 , [mm] w_1=0 [/mm] und v [mm] \ne [/mm] 0

Zu (ii). Das ist O.k.

Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob  $ [mm] \{w_1,...w_k,v\} [/mm] $ linear abhängig ist.

Dazu hast Du noch nichts gesagt

FRED

Bezug
                
Bezug
lin. unab. / abh.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Do 25.02.2010
Autor: MontBlanc

Danke, für deine Antwort.

Ja zu (iii) habe ich vergessen zu schreiben, dass v [mm] \in Sp(w_1,...,w_k) [/mm] impliziert, dass [mm] \{w_1,...,w_k,v\} [/mm] linear abhängig ist. denn v kann ja als linearkombination der [mm] w_i's [/mm] geschrieben werden.

lg

Bezug
                
Bezug
lin. unab. / abh.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Do 25.02.2010
Autor: MontBlanc

Hallo nochmal,

> Zu (i). Betrachte k=1 , [mm]w_1=0[/mm] und v [mm]\ne[/mm] 0

Wäre dann aber [mm] \{w_1,v\} [/mm] nicht linear unabhängig ?

> Zu (ii). Das ist O.k.
>  
> Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob  [mm]\{w_1,...w_k,v\}[/mm]
> linear abhängig ist.
>  
> Dazu hast Du noch nichts gesagt
>  
> FRED


lg

Bezug
                        
Bezug
lin. unab. / abh.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Do 25.02.2010
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> > Zu (i). Betrachte k=1 , [mm]w_1=0[/mm] und v [mm]\ne[/mm] 0
>  
> Wäre dann aber [mm]\{w_1,v\}[/mm] nicht linear unabhängig ?

              es ist      [mm] $1234,56789*w_1 [/mm] +0*v = 0$

Hilft das ?

FRED



>  
> > Zu (ii). Das ist O.k.
>  >  
> > Zu (ii) Du sollst doch entscheiden ob  [mm]\{w_1,...w_k,v\}[/mm]
> > linear abhängig ist.
>  >  
> > Dazu hast Du noch nichts gesagt
>  >  
> > FRED
>
>
> lg


Bezug
                                
Bezug
lin. unab. / abh.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Do 25.02.2010
Autor: MontBlanc

du hast natürlich recht.

sorry!

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