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Forum "Uni-Analysis" - lin.unabhängigkeit: sinx,cosx
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mo 21.11.2005
Autor: thomastomasson

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

hi

gegeben ist folgendes:
sin(x), cos(x) und sin(x+ [mm] \pi/3) [/mm] sind auf [0,1] definiert, stetig und damit vektoren des  [mm] \IC-Vektorraumes [/mm] [0,1].
frage: sind die 3 funktionen linear unabhängig?

ich denke mal der ansatz ist folgender;
a [mm] \*sin(x) [/mm] + b [mm] \*cos(x) [/mm] + c [mm] \*sin(x+ \pi/3)=0 [/mm]
aber wie weiter?
könnte mir mal jmd einen tipp geben?

gruß
thomas

        
Bezug
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:47 Mo 21.11.2005
Autor: Leopold_Gast

Verwende das Additionstheorem des Sinus. Dann kannst du [mm]\sin{\left( x + \frac{\pi}{3} \right)}[/mm] als Linearkombination der beiden andern schreiben.

Bezug
                
Bezug
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Di 22.11.2005
Autor: RudiRijkaard

danke für den tipp
ich habe nun folgendes gleichungssystem
(1) a+1/2*c=0
(2) b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}*c=0 [/mm]

und damit lin.abhängigkeit erhalten
stimmt dies?

Bezug
                        
Bezug
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Di 22.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Rudi,

> danke für den tipp
>  ich habe nun folgendes gleichungssystem
>  (1) a+1/2*c=0
>  (2) b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}*c=0[/mm]
>  
> und damit lin.abhängigkeit erhalten
>  stimmt dies?

Stimmt!
Und wenn Du z.B. c=-1 setzt, kriegst Du a=0,5, [mm] b=\bruch{1}{2}\wurzel{3}, [/mm]
was - oben eingesetzt und umgeformt - ergibt:

[mm] sin(x+\bruch{\pi}{3}) [/mm] = 0,5*sin(x) + [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}*cos(x). [/mm]

Und das wiederum kannst Du sogar mit Hilfe eines Zeigerdiagramms zeichnerisch überprüfen!

mfG!
Zwerglein

Bezug
                                
Bezug
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mi 23.11.2005
Autor: thomastomasson

also könnte ich doch folgende lösung schreiben:
(a+1/2*c)*sinx + (b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}*c)*cosx=0 [/mm]
  
[mm] \to [/mm]
lin.gleichungssystem:
(1) a+1/2*c=0
(2) b+1/2* [mm] \wurzel[2]{3}=0 [/mm]

aus (1) : c = -2a
aus (2) : c = -2/3* [mm] \wurzel[2]{3}*b [/mm]

-2a = -2/3* [mm] \wurzel[2]{3}*b [/mm]
a = [mm] 1/3*\wurzel[2]{3}*b [/mm]

Setze z.b. c = -1:
[mm] 1/2*sinx+1/2*\wurzel[2]{3}*cosx [/mm] = sin(x+PI/3)
[mm] \to [/mm] sin(x+PI/3) kann als linearkombination von sinx und cosx geschrieben werden
[mm] \to [/mm] die 3 funktionen sind linear abhängig

könnte mal jemand von euch bitte nachprüfen ob die lösung so stimmt?
eine frage hätte ich dann aber noch zusätzlich:
inwiefern ist es für die lösung relevant, dass die 3 funktionen vektoren des
[mm] \IR-Vektorraums [/mm] sind?

wäre für schnelle antwort sehr dankbar
grüße
thomas


Bezug
                                        
Bezug
lin.unabhängigkeit: sinx,cosx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Do 24.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Thomas,

> also könnte ich doch folgende lösung schreiben:
>  (a+1/2*c)*sinx + (b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}*c)*cosx=0[/mm]
>    
> [mm]\to[/mm]
>  lin.gleichungssystem:
>  (1) a+1/2*c=0
>  (2) b+1/2* [mm]\wurzel[2]{3}=0[/mm]
>  
> aus (1) : c = -2a
>  aus (2) : c = -2/3* [mm]\wurzel[2]{3}*b[/mm]
>  
> -2a = -2/3* [mm]\wurzel[2]{3}*b[/mm]
>  a = [mm]1/3*\wurzel[2]{3}*b[/mm]
>  
> Setze z.b. c = -1:
>  [mm]1/2*sinx+1/2*\wurzel[2]{3}*cosx[/mm] = sin(x+PI/3)
>   [mm]\to[/mm] sin(x+PI/3) kann als linearkombination von sinx und
> cosx geschrieben werden
>  [mm]\to[/mm] die 3 funktionen sind linear abhängig.

(Weil eine davon als Linearkombination der beiden anderen dargestellt werden kann!)

> könnte mal jemand von euch bitte nachprüfen ob die lösung
> so stimmt?

Ist richtig!
(Und? Hast Du's auch mit dem Zeigerdiagramm versucht?!
Geht wesentlich zügiger!)

>  eine frage hätte ich dann aber noch zusätzlich:
>  inwiefern ist es für die lösung relevant, dass die 3
> funktionen vektoren des
> [mm]\IR-Vektorraums[/mm] sind?

Nun: In Deinem Fall ist ja schonmal zumindest die Konstante b irrational!
D.h. über dem Körper [mm] \IQ [/mm] wäre diese Linearkombination nicht möglich!
  
mfG!
Zwerglein

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