linear-proportional < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Es geht um das Stoffgebiet "lin. Fkt.
Im Rahmen dess soll ich erklären, was linear heißt. |
Hallo liebe Leute,
ich komme auf:
hoch 1
in eine Richtg.
1.te Dimension
Längenmaß
ja, so halt.
Dann über Nacht fällt mir ein, dass sicher der Begriff "proportional" damit zu tun hat. Aber ich habe nicht wirkl. Ahnung, was er bedeutet. Habe nur ein Gefühl. Setze mich dran, es zu klären (Lexikon, Mathebuch).
Es entsteht folgende Antw., die allerdings 2 Fragen aufwirft:
Diese quotientengleichen Brüche (Proportionalität) müssen das Verhältnis der verschieden großen Steigungsdreiecke sein (bei gleich bleibender Steig.).
Beispiel [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{6}{8} [/mm]
Ich kapiere aber nicht, warum das nur für y=mx gilt,
nicht aber für y=mx+b
Klar, ich habe es ausprobiert mit y=mx+b geht es wirklich nicht, denn es ist ein Unterschied ob ich einen für 1 € kaufe u. 1,- Grundgebühr zusätzl. zahle (sehr teuer) oder ob ich hundert für 100,- € kaufe u. insges. 101,- € zahle. Jetzt die Frage: Aber auch hier hat man trotzdem immer noch die quotientengleichen Steigungsdreiecke. Die Kurve ist doch nur parallel verschoben.
Warum soll das mit der Proportionalität nicht gelten für y=mx+b?
Und die zweite Frage, die ich habe:
direkt proportional= Graphen immer steigend
indirekt proportional = immer fallend
Ja, kann man das so sagen?
Eine Kerze brennt ab
Beschriftg. y-Achse mit s= Länge der Kerze
Beschriftg. x-Achse mit t = Zeit
Kerze beginnt bei einem best. y-Wert abzubrennen
(fallende Kurve, bei Nullst. Kerze abgebrannt)
Anderes Bsp.
Farbeimer mit einer best. Literanzahl wird "vermalt"
Beschriftg. y-Achse mit Liter
Beschriftg. x-Achse mit qm
(fallende Kurve, bei Nullst. Farbeimer leer)
Die Krux ist doch aber, dass ich beide Beispiele auch als steigende Kurven darstellen kann. Dann beginnt der Graph in (0/0) u. endet da, wo Kerze alle u. Eimer leer.
Dann ist also die Antw. auf die Frage, ob
direkt proportional= Graphen immer steigend u.
indirekt proportional = immer fallend
ja u. nein? Aber so ein Wischiwaschi in der Mathematik fühle ich ist FALSCH.
Wie ist es richtig?
Schaue am späten nachmittg. nochmal u. freue mich jetzt schon auf eure Hilfe! DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 28.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Giraffe
Du hast gut das Durcheinander bemerkt.
von vielen lehreren wird jede Funktion , deren Graph eine Gerade (Linie) ist, als lineare funktion bezeichnet also allgemein f(x)=mx+b
Das ist mathematisch falsch!
mathematisch hat eine lineare Funktion di ich im folgenden mit L(x) bezeichne folgende Eigenschaften .
1. L(x1+x2)=L(x1)+L(x2)
in Worten die funktion, angewendet auf die summe von 2 argumenten ist gleich der Summe der Funktionen der 2 Argumente,
anwedung bei, einkaufen: Du kaufst 2kg kartoffeln und dann noch 3 kg Kartoffeln , der Preis ist derselbe wie für 5kg kart.
f=Preis f(x)=1,20€/kg*x x= Kartoffelmenge
f(2kg+3kg)=f(5kg)=1.20€/kg*5kg=6€
und f(2kg)+f(3kg)=1.2€/kg*2kg+2€/kg*3kg=2.4€+3.6€=6€
2. L(r*x1)=r*L(x1)
wieder mit den Kartoffeln r=2.5 x=6kg
f(2.5*6kg)=2.5*f(6kg)
links :1.2€/kg*15kg=18€ rechts 2.5*(1.2€/kg*6kg)=2.5* 7.2€=18€
3. L(0)=0 das folgt aber schon aus L(x1-x1)=L(x1)+L(-x1)=L(x1)+(-1)*L(x1) =0
ein Handytarif ist üblicherweise nicht linear: du zahlst pro Monat z. Bsp
5€ hast 20 Freiminuten und danach pro min 0.12€
Wenn du jetz den preis für 10 min und den für 15Min. einzeln ausrechnest (beides 5€) ist das nicht dasselbe wie wenn du den Preis für 25min ausrechnest.
Geraden mit der gleichung f(x)=y=mx+b sind also keine linearen funktionen in der Mathematik.
Beispiel f(x)=2x+5
f(2+3)=f(5)=2*5+5=15
f(2)+f(3)=(2*2+5) +(2*3+5 )= 20
wirklich lineare Funktionen hast du also wirklich Proportionalitat
du kannst das ausdrücken durch y/x=konstant dasselbe wie y=konstante*x
"umgekehrte" Proportionalität, kannst du NICHT durch eine Gerade darstellen.
was du mit der Kerze meinst ist nicht umgekehrte proportionalität, sondern proportionale Abnahme.
umgekehr proportinal etwa sind zeit Geschwindigkeit bei festem Weg.
Zeit=Weg/Geschw.
Beispiel Weg=1000m
Geschwindigkeit 1m/s du brauchst 1000s, bei 2m/s nur 500s bei 20m/s nur 50s
usw. aber du erreichst mit keinerendlichen Geschwindigkeit 0s Zeit, und bei der Geschw 0m/s wäre die zeit "unendlich lang, für ne schnecke mit 0.01m/s schon 100000s lang!
zeichne es auf, du bekommst keine gerade.
Umgekehrt proportional heisst in formeln y*x=const oder y=Konst/x also keine Gerade.
Du musst deinen lehrer fragen ob er mathematisch "linear" meint, oder "schulich" also Geradengl. wenn mathematisch, dann musst du meine definition oben benutzen!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo ledurt,
das Konzentrat konnte ich rausziehen:
Lineare Fkt. gehen also immer durch (0/0), alle anderen mit +b sind nicht linear. (das könnte ich auch noch erklären u. begründen, Bsp mit Handytarif war gut).
steigend-Zuwachs
fallend-Abnahme
Ob fallend oder steigend, beide Fälle sind proportional.
Aber ob steigend oder fallend hat nichts zu tun mit umgekehrter Proportionalität!
Zu umgekehrt proportional habe ich immer nur ein Bsp. im Kopf:
2 Maurer brauchen für eine Mauer so u. so lange.
Wieviel brauchen 3 Maurer für diese eine Mauer?
Bei proportional re u. li Seite mit mal irgendwas.
Bei umgekehrt proport. eine Seite mal, die andere geteilt.
Ja, u. gezeichnet habe ich die auch. Wahrscheinlich hat nix zu tun mit exponential, aber dein Bsp mit Weg Zeit u. Geschwindigkeit soll wohl sicher dasselbe sagen, was ich mit den Mauerern rausbekommen habe. Nämlich: Und wenn 1000 Arbeiter die Arbeit erledigen, es wird NIE null Zeit benötigen. Da nähert sich etw. immer mehr, aber erreicht es doch nie
asymptotisch war das wohl.
Kein Wunder dass sich umgekehrte Proportionalität nicht als Gerade darstellen läßt.
Vielen DANK fürs Aufräumen u. Klar-Schiff machen bei meinem mathemat. Gedanken.
DANKE!
LG
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Do 03.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Zur Terminologie:
Seien x und y reelle Zahlen.
Funktionen mit der Gleichung y=m*x (m=konstant, d.h. nicht von x abhg)
heißen linear, gleichgültig ob m pos., neg. oder Null ist. Man sagt
dann auch, y ist direkt proportional zu x, wie beim direkten Dreisatz.
Funktionen mit der Gleichg y=m*x+b nennt man affin linear;
in der Schulmathematik wird meist der Zusatz "affin" weggelassen.
Bei affin lin. Fkt. redet man nicht von direkter Proportionalität,
wenn b ungleich Null ist.
Fkt. mit der Gleichg y=m/x (m ungleich 0)werden graphisch durch
zwei Hyperbel-Äste dargestellt, wobei eine solche Fkt. für x=0 nicht
def. ist.
(Vielleicht hast Du schon einmal eine Hyperbel für y=1/x gezeichnet.)
In diesem Fall sagt man, y ist indirekt proportional zu x, wie beim indirekten Dreisatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Fr 04.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo giraffe
> Zur Terminologie:
> Seien x und y reelle Zahlen.
> Funktionen mit der Gleichung y=m*x (m=konstant, d.h. nicht
> von x abhg)
> heißen linear, gleichgültig ob m pos., neg. oder Null
> ist. Man sagt
> dann auch, y ist direkt proportional zu x, wie beim
> direkten Dreisatz.
>
> Funktionen mit der Gleichg y=m*x+b nennt man affin linear;
> in der Schulmathematik wird meist der Zusatz "affin"
> weggelassen.
> Bei affin lin. Fkt. redet man nicht von direkter
> Proportionalität,
Man redet nicht nur nicht davon, sondern er ist keine!
> wenn b ungleich Null ist.
> Fkt. mit der Gleichg y=m/x (m ungleich 0)werden graphisch
> durch
> zwei Hyperbel-Äste dargestellt, wobei eine solche Fkt.
> für x=0 nicht
> def. ist.
> (Vielleicht hast Du schon einmal eine Hyperbel für y=1/x
> gezeichnet.)
> In diesem Fall sagt man, y ist indirekt proportional zu x,
> wie beim indirekten Dreisatz.
Das ist richtig, gehört aber nicht zu dem thema lineare Funktionen
Gruss leduart
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