linear abhängig / unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Tequila |
hallo habe eine Frage zur linearen Abhängigkeit / Unabhängigkeit bei Vektoren
nehmen wir an ich habe zB. a1=5 und a2=5
[mm] \alpha [/mm] 1 * a1 + [mm] \alpha [/mm] 2 * a2 = 0
wenn nur das hier gelten würde
[mm] \alpha [/mm] 1 = [mm] \alpha [/mm] 2 = 0
dann sind sie linear unabhängig, richtig?
aber man könnte ja auch [mm] \alpha [/mm] 1 = (-1) [mm] \alpha [/mm] 2 = 1 wählen
dann wäre es linear abhängig
dann fällt mir kein vektor ein der linear unabhängig wäre
es gibt doch dann theoretisch keinen
könnt ihr mir ein sehr simples beispiel machen für lineare unabhängigkeit?
und noch eine frage:
basis eines vektorraumes
bedeutet ja das die vektoren linear unabhängig sind und jedes a des VR als linearkombination der anderen a schreiben läßt, richtig?
generell läßt sich doch jedes a eines VR als linearkombination der anderen a schreiben, oder?
könntet ihr hier auch ein sehr simples beispiel geben dafür das das nicht so ist?
ps. schaut immer mal wieder rein hier, denn ich glaub da werden noch einige weiter fragen folgen ;)
und es wäre gut wenn ihr beispiele angeben könntet ohne den nullvektor weil bei dem ist das meist sehr einfach zu verstehen, aber wenn dann andere vektoren drankommen [mm] \not= [/mm] nullvektor dann wird es meiner meinung nach schwerer zu verstehen
danke im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 13.01.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> nehmen wir an ich habe zB. a1=5 und a2=5
>
> [mm]\alpha[/mm] 1 * a1 + [mm]\alpha[/mm] 2 * a2 = 0
>
da steht leider nicht, was alpha sein soll - ich denke du verwechselst das mit den komponenten EINES Vektors.
Richtig muss es so heißen :
2 Vektoren sind linear unabhängig, wenn aus [mm] $a_1*\vektor{v_1\\v_2}+a_2*\vektor{w_1\\w_2}=\vektor{0\\0}$ [/mm]
FOLGT (als logischer Schluss), dass [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] beide 0 sein MÜSSEN.
(analog für mehr Vektoren bzw Summanden)
D.h. wenn es eine andere Möglichkeit gibt, so dass obere Gleichung gilt und [mm] a_1 [/mm] und/oder [mm] a_2 [/mm] nicht 0 sind, dann sind die Vektoren auch linear abhängig.
Beispiel:
[mm] $a_1*\vektor{1\\2}+a_2*\vektor{1\\3}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
hier sieht man das aus der oberen Zeile gelten würde, dass [mm] $a_1=-a_2$, [/mm] aber dies funzt in der zweiten Zeile nur für [mm] $a_1=a_2=0$, [/mm] deshalb FOLGT obige Forderung und deshalb sind sie linear unabhängig.
[mm] $a_1*\vektor{1\\2}+a_2*\vektor{-2\\-4}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
hier würde [mm] $a_1=1$ [/mm] und [mm] $a_2=0,5$ [/mm] eine weitere Lösung sein, deshalb sind die Vektoren linear abhängig.
> basis eines vektorraumes
>
> bedeutet ja das die vektoren linear unabhängig sind und
> jedes a des VR als linearkombination der anderen a
> schreiben läßt, richtig?
Ähm, vielleicht solltest du nicht alles a nennen, dann versteht man auch, was du meinst.
Richtig wäre : jeder Vektor eines Vektorraums lässte sich als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
>
> generell läßt sich doch jedes a eines VR als
> linearkombination der anderen a schreiben, oder?
Generell gilt, dass die Basis nicht eindeutig ist, d.h du kannst dir andere Vektoren als Basis suchen und jeden Vektor dann zu dieser Basis darstellen.
Hier würde auch ein Erzeugendensystem reichen, aber der Unterschied ist dann, dass man bei Basisvektoren eine EINDEUTIGE Darstellung erhält und bei einem Erzeugendensystem (mit echt mehr Vektoren als in einer Basis) nicht mehr.
Die Eindeutigkeit ist übrigens zur linearen Unabhängigkeit äquivalent und gar nicht so schwer nach zu weisen...
> könntet ihr hier auch ein sehr simples beispiel geben dafür
> das das nicht so ist?
Ähm, dann solltest du genauer werden.
dass man einen beliebigen Vektor NICHT als Linkombi von ein paar anderen Vektoren darstellen kann?
Dazu nehme eine Menge von Vektoren, die KEIN Erzeugendensystem ist und versuche einen Vektor außerhalb ihres Erzeugnisses darzustellen.
Bsp: [mm] $\IR^2$ [/mm] und als Vektorenmenge : [mm] $\{ \vektor{1\\2} , \vektor{-2\\-4} \}$ [/mm] dann kann man zum Beispiel NICHT [mm] $\vektor{1\\3}$ [/mm] oder [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] als LinKombi von den beiden oben darstellen.
dann
ist es jetzt etwas klarer?
wenn nicht, versuche klar (ohne verschiedenen Interpretationsmöglichkeiten) zu sagen, was du meinst.
(Und keine Sorge : dies zu versuchen hilft ungemein und wir alle mussten dies mal machen)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
