linear/ injektiv ,euklid. VR. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien $V$ und $W$ euklidische Vektorräume mit Skalarprodukten $( ; ) $ und $< ; >. $
Weiter sei [mm] $\varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ eine Abbildung, die $ [mm] \varphi(0)=0$ [/mm] und [mm] $(v,w)=<\varphi(v),\varphi(w)>$ [/mm] für alle $v,w [mm] \in [/mm] V$ erfüllt.Zeigen sie,dass [mm] $\varphi [/mm] $ linear und injektiv ist. |
Beweis:
Linear Abb.:
$ [mm] \varphi(v+w,z)=(v+w,z)$ [/mm] jetzt linearität der 1.Komponente $ [mm] \varphi(v+w,z)=(v+w,z)=(v,z)+(w,z)=<\varphi(v),\varphi(z)>+<\varphi(w),\varphi(z)>$
[/mm]
das jetzt für die 2 .komponente
$ [mm] \varphi(z,v+w)=(z,v+w)$ [/mm] jetzt linearität der 2.Komponente $ [mm] \varphi(z,v+w)=(z,v+w)=(z,v)+(z,w)=<\varphi(z),\varphi(v)>+<\varphi(z),\varphi(w)>$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi$ [/mm] linear
jetzt noch die homogenität
[mm] $\varphi(\alpha v,\beta [/mm] w)= [mm] (\alpha v,\beta [/mm] w)$ homogenität 1. und 2. komponente [mm] $\varphi(\alpha v,\beta [/mm] w)= [mm] (\alpha v,\beta [/mm] w)= [mm] \alpha (v,w)\beta=<\alpha \varphi(v),\varphi(w) \beta>$ [/mm]
kann man das so machen?
bei der injektivität,weis ich noch nicht,wie ich's machen soll, ich weiss,dass 'ne lin.abb. injektiv ist,wenn der Kern nur aus der $ 0$ besteht, und dass $ [mm] \varphi(0)=0$ [/mm] ist schon mal geil,aber ich kann da nichts mit machen bisher...:/
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> Es seien [mm]V[/mm] und [mm]W[/mm] euklidische Vektorräume mit
> Skalarprodukten [mm]( ; )[/mm] und [mm]< ; >.[/mm]
> Weiter sei [mm]\varphi: V \to W[/mm]
> eine Abbildung, die [mm]\varphi(0)=0[/mm] und
> [mm](v,w)=<\varphi(v),\varphi(w)>[/mm] für alle [mm]v,w \in V[/mm]
> erfüllt.Zeigen sie,dass [mm]\varphi[/mm] linear und injektiv ist.
> Beweis:
>
> Linear Abb.:
>
> [mm]\varphi(v+w,z)=(v+w,z)[/mm]
Hallo,
Du hast die Aufgabe nicht richtig gelesen oder nicht richtig verstanden.
Wir haben eine Abbildung [mm] \varphi, [/mm] die aus dem VR V in den VR W abbildet.
Es steht aber nirgendwo, daß [mm] \varphi [/mm] das Skalarprodukt ( , ) im VR V ist.
Zu zeigen ist
[mm] \varphi (v+v')=\varphi (v)+\varphi [/mm] (v') f.a. [mm] v.v'\in [/mm] V
und
[mm] \varphi (\alpha v)=\alpha \varphi [/mm] (v) f.a. [mm] v\in [/mm] V, [mm] \alpha\in \IR,
[/mm]
weiter dann die Injektivität.
LG Angela
> jetzt linearität der 1.Komponente
> [mm]\varphi(v+w,z)=(v+w,z)=(v,z)+(w,z)=<\varphi(v),\varphi(z)>+<\varphi(w),\varphi(z)>[/mm]
>
> das jetzt für die 2 .komponente
>
> [mm]\varphi(z,v+w)=(z,v+w)[/mm] jetzt linearität der 2.Komponente
> [mm]\varphi(z,v+w)=(z,v+w)=(z,v)+(z,w)=<\varphi(z),\varphi(v)>+<\varphi(z),\varphi(w)>[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \varphi[/mm] linear
>
>
> jetzt noch die homogenität
>
> [mm]\varphi(\alpha v,\beta w)= (\alpha v,\beta w)[/mm] homogenität
> 1. und 2. komponente [mm]\varphi(\alpha v,\beta w)= (\alpha v,\beta w)= \alpha (v,w)\beta=<\alpha \varphi(v),\varphi(w) \beta>[/mm]
>
>
> kann man das so machen?
>
> bei der injektivität,weis ich noch nicht,wie ich's machen
> soll, ich weiss,dass 'ne lin.abb. injektiv ist,wenn der
> Kern nur aus der [mm]0[/mm] besteht, und dass [mm]\varphi(0)=0[/mm] ist
> schon mal geil,aber ich kann da nichts mit machen
> bisher...:/
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hi:)
danke für deine antwort,aber wie soll man [mm] \varphi(v+v') [/mm] dann anwenden ,also ich meine [mm] \varphi(v+v')=? [/mm] das verstehe ich irgendwie nicht..:/
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Hiho,
naja, du sollst zeigen:
[mm] $\varphi(v [/mm] + w) = [mm] \varphi(v) [/mm] + [mm] \varphi(w)$
[/mm]
oder äquivalent dazu:
[mm] $\varphi(v [/mm] + w) - [mm] \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi(w) [/mm] = 0$
Na und nun überlege mal, was für das Skalarprodukt eines Ausdrucks gelten muss, damit ein Ausdruck Null ist.
Gruß,
Gono
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> hi:)
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> danke für deine antwort,aber wie soll man [mm]\varphi(v+v')[/mm]
> dann anwenden ,also ich meine [mm]\varphi(v+v')=?[/mm] das verstehe
> ich irgendwie nicht..:/
Hallo,
zu zeigen ist ja
$ [mm] \varphi(v [/mm] + w) = [mm] \varphi(v) [/mm] + [mm] \varphi(w) [/mm] $ f.a. [mm] v,w\in [/mm] V,
was, wie Gonozal bereits erwähnt,
äquivalent ist zu
$ [mm] \varphi(v [/mm] + w) - [mm] \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi(w) [/mm] = 0 $.
Nun berechne doch mal
[mm] <\varphi(v [/mm] + w) - [mm] \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi(w),\varphi(v [/mm] + w) - [mm] \varphi(v) [/mm] - [mm] \varphi(w)>
[/mm]
und ziehe Deine Schlüsse aus dem Ergebnis.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Do 26.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi:)
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> danke für deine antwort,aber wie soll man [mm]\varphi(v+v')[/mm]
> dann anwenden ,also ich meine [mm]\varphi(v+v')=?[/mm] das verstehe
> ich irgendwie nicht..:/
ich ergänze das, was schon gesagt wurde, durch etwas, was hoffentlich
bekannt ist (ansonsten ist der Beweis dazu elementar, und selbst, wenn
man ihn nicht hinbekommt, findet man ihn in vielen Lehrbüchern zur
linearen Algebra):
Ist der Vektorraum [mm] $V\,$ [/mm] mit einem Skalarprodukt $s: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ ausgestattet,
so induziert dieses Skalarprodukt durch
$N [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $N(v):=\sqrt{s(v,v)}$
[/mm]
eine Norm auf [mm] $V\,.$
[/mm]
Wenn man das beweist, so hat man insbesondere
$N(v)=0$ [mm] ($\in [0,\infty)$) $\Rightarrow$ [/mm] $v=0$ (die [mm] $0\in [/mm] V$)
zu beweisen.
Wenn Du willst: Such' bei Wiki nach "Skalarproduktnorm".
Gruß,
Marcel
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