lineare Abb-Lin E - lin unabh. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 So 07.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Es seien [mm] B=\begin{Bmatrix}
b_1, ... , b_n
\end{Bmatrix}
[/mm]
eine Basis des k- vektorraums V, [mm] E=\begin{Bmatrix}
w_1 , ... , w_n
\end{Bmatrix}
[/mm]
ein System von n Vektoren im K-Vektorraum W und f: V->W die lineare Abbildung mit [mm] f(b_j)=w_j [/mm] für j=1, ..., n. Zeigen Sie:
f surjektiv <=> W = Lin E
und
f injektiv <=> E linear unabhängig. |
Also mein Problem liegt darin für den ersten Teil der Aufgabe die Surjektivität für die beiden inklusionen voarus zu setzten und dann zu verwenden...
Beim zweiten teil, kann ich doch f(V)=W= [mm] \summe_{j=1}^{n} (\alpha_j*f(b_j)) [/mm] nur wie es dann weiter geht, keine Ahnung.
Danke schon mal für die Hilfe.
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> Es seien [mm]B=\begin{Bmatrix}
b_1, ... , b_n
\end{Bmatrix}[/mm]
> eine Basis des k-
> vektorraums V, [mm]E=\begin{Bmatrix}
w_1 , ... , w_n
\end{Bmatrix}[/mm]
> ein System von n Vektoren
> im K-Vektorraum W und f: V->W die lineare Abbildung mit
> [mm]f(b_j)=w_j[/mm] für j=1, ..., n. Zeigen Sie:
>
> f surjektiv <=> W = Lin E
> und
> f injektiv <=> E linear unabhängig.
> Also mein Problem liegt darin für den ersten Teil der
> Aufgabe die Surjektivität für die beiden inklusionen voarus
> zu setzten und dann zu verwenden...
Hallo,
??? Wieso Surjektivität für beide Inklusionen? Kannst Du genauer sagen, was Du meinst.
Du sollst in a) zeigen
a1) f surjektiv ==> W = Lin E
a2) W = Lin E ==> f surjektiv.
Zu a1)
Voraussetzung: f surjektiv
zu zeigen: i. [mm] W\subseteq [/mm] Lin E
ii. Lin E [mm] \subseteq [/mm] W (das ist sofort klar!)
Beweis:
i. Sei [mm] w\in [/mm] W.
Was bedeutet es, daß f surjektiv ist? (Und dann munter weiter.)
>
> Beim zweiten teil,
Meinst Du a2) ?
> kann ich doch f(V)=W= [mm]\summe_{j=1}^{n} (\alpha_j*f(b_j))[/mm]
Das geht nicht. Wenn Du schreibst f(V)=W, benutzt Du ja die Surjektivität, die Du erst zeigen willst.
Du hast hier W=lin E, und nun mußt Du irgendwie glaubhaft machen, daß f surjektiv ist, daß also wirklich auf jedes [mm] w\in [/mm] W ein Element aus V abgebildet wird.
Gruß v. Angela
> nur wie es dann weiter geht, keine Ahnung.
>
>
> Danke schon mal für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Also das mit den Inklusionen habe ich genauso gemeint, wie du es danach geschrieben hast, aber danke, hat mir schon weiter geholfen.
Kann mir jetzt auch noch wer mit :
> > f injektiv <=> E linear unabhängig.
helfen?
Danke.
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> Kann mir jetzt auch noch wer mit :
>
> > > f injektiv <=> E linear unabhängig.
Hallo,
inwiefern bist Du hilfsbedürftig? was hast Du Dir bisher alles überlegt, wie weit bist Du gekommen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Ich weiß, dass aus der Injekt. [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] => [mm] x_1=x_2 [/mm] folgt, nur wie bekomme ich (bei beiden Richtungen) jeweils das richtige raus? wie muss ich es verwenden?
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> Ich weiß, dass aus der Injekt. [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] => [mm]x_1=x_2[/mm]
> folgt, nur wie bekomme ich (bei beiden Richtungen) jeweils
> das richtige raus? wie muss ich es verwenden?
Hallo,
zunächst mal solltest Du Dich über etwas informieren, worauf ich im anderen Thread schon zart hingewiesen hatte: welche bequeme kriterieum hat man für Injektivität im Falle linearer Funktionen.
Dann ist mir "wie kriege ich das Richtige raus" zu dürftig.
ich will die Vorarbeiten sehen:
-Behauptung,
-Voraussetzung
-Was ist zu zeigen?
-Was bedeutet die zu zeigende Behauptung, was müßte man also im Beweis zeigen?
danach kann man weiterreden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Da, ich ja grade keinen Ansatz hinbekomme, muss ich ja so Fragen. Ich hab halt mal gar keine Idee, wie ich die Inj. bei lin Funktionen ausnutzen kann, um da auf deren Surj. zu schließen...
Aber trotzdem danke, hat mir schon ein wenig geholfen...
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> Da, ich ja grade keinen Ansatz hinbekomme, muss ich ja so
> Fragen. Ich hab halt mal gar keine Idee, wie ich die Inj.
> bei lin Funktionen ausnutzen kann, um da auf deren Surj.
> zu schließen...
???
Du sollst doch gar nicht von Injektivität auf Surjektivität schließen...
Wenn du mein Post richtig gelesen hast, siehst Du, daß ich nicht erwarte, daß Du nun den Beweis richtig aufschreibst - könntest Du das, würdest Du nicht hier fragen.
Ich habe Dir gesagt, was vor Beginn des Beweises zu klären ist - übrigens nicht nur hier, sondern generell, wenn man etwas beweisen will, und ich verstehe überhaupt nicht,
warum Du nicht die zu zeigenden Behauptungen aufschreibst, splittest in Voraussetzung und das, was zu zeigen ist.
Dann fehlt immer noch die Eigenschaft, die bei linearen Funktionen äquivalent zur Injektivität ist, sie sollte sich in deienr mitschrift finden, und sie ist sehr wichtig. Sie hat was mit dem Kern zu tun.
Ich versuche, Dir zu zeigen, wie man solch einen Beweis anpacken kann, und ein Geheimnis ist die Zerlegung des Problems in seine Bestandteile.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
Also:
Beh.: f surj. <=> W= Lin E
Vor.: f surj. <=> f(V)=W
zz.: Das f surj. => W= Lin E und W=Lin E => f surj.
"=>": f(V)=W= [mm] f(\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*b_k)= \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*f(b_k)= \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*w_k=Lin [/mm] E
Ist das schon der Beweis???
"<=": W=Lin [mm] E=\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*w_n= [/mm] [mm] \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*f(b_n)=f(\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*b_n)=f(V) [/mm] => f surj.
Ists das schon?`????
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> Also:
>
> Beh.: f surj. <=> W= Lin E
Hallo,
auch wenn man mehr schreiben muß, man fährt besser damit, wenn man am Anfang, wo man eh von so vielen Klippen fällt, lieber die Richtungen komplett trennt, also:
Beh.: f surj. => W= Lin E
>
> Vor.: f surj. <=> f(V)=W
>
> zz.: Das f surj. dann ist W= Lin E,
dh.
i. W [mm] \subseteq [/mm] lin E
ii. Lin E [mm] \subseteq [/mm] W. (Dies ist sofort klar)
Beweis:
zu i.
Wegen
> f(V)=W
gibt es für jedes [mm] w\in [/mm] W Koefizienten [mm] a_i [/mm] so, daß
w=
> = [mm]f(\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*b_k)= \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*f(b_k)= \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*w_k\red{\in}Lin[/mm] E
Also ist für W [mm] \subseteq [/mm] Lin E.
ii. klar.
>
> Ist das schon der Beweis???
Ja.
jetzt die Rückrichtung:
Behauptung W=lin E ==> f surjektiv.
Voraussetzung: W=lin E , dh. E erzeugt W
zu zeigen: f surjektiv, dh. f(V)=W, also
i. [mm] f(V)\subseteq [/mm] W (trivial)
ii. W [mm] \subseteq [/mm] f(V)
Beweis:
i. klar
ii.
sei [mm] w\in [/mm]
> W=Lin [mm]E ==> es gibt a_i mit w=
> \summe_{k=1}^{n} \alpha_n*w_n=[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*f(b_n)=f(\summe_{k=1}^{n} \alpha_n*b_n) \red{\in} f(V)[/mm]
also ist W [mm] \subseteq [/mm] f(V).
Aus i) und ii) folgt
> => f surj.
Gruß v. Angela
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