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Forum "Lineare Abbildungen" - lineare Abbildung
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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
Sei [mm] \delta: [/mm] V ->  W eine Abbildung zwischen [mm] \IK-Vektorräumen. [/mm] Zeige, dass [mm] \delta [/mm]
genau dann linear ist, wenn es folgender Bedingung genügt:
[mm] \forall \lambda \in \IK \forall v_1,v_2 \in [/mm] V : [mm] \delta (v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2) [/mm] = [mm] \delta (v_1) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (v_2) [/mm]

[mm] v_1=v_2 [/mm] =0
[mm] \delta (v_1 [/mm] + [mm] \lambda v_2) [/mm] = [mm] \delta [/mm] (0 + [mm] \lambda [/mm] 0) = [mm] \delta [/mm] (0)  + [mm] \lambda [/mm]  * [mm] \delta [/mm]  (0) $=  ??

Ich verstehs nicht ganz!
[mm] \delta [/mm] (x +y) = [mm] \delta(x) [/mm] + [mm] \delta(y) [/mm]
Die eigenschaft muss nachweisen aber wie mit der obigen bedingung?



        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Fr 02.12.2011
Autor: Schadowmaster

moin,

Das ist eigentlich die Definition von linear...
Deshalb würde mich doch mal interessieren wie genau ihr lineare Abbildungen definiert habt, denn ohne eine genaue Definition aus der man folgern kann dürfe der Beweis problematisch werden.^^

lg

Schadow

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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

Ja Lineare Abbildungen:
-) 0 wird auf 0 abgebildet
-) f(x+y) = f(x) + f(y)
-) [mm] \lambda [/mm] * f(x) = f [mm] (\lambda [/mm] * x)

Bezug
                        
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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Fr 02.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo theresetom,


> Ja Lineare Abbildungen:
>  ;-) 0 wird auf 0 abgebildet
>  ;-) f(x+y) = f(x) + f(y)
>  ;-) [mm]\lambda[/mm] * f(x) = f [mm](\lambda[/mm] * x)

Jo, genau diese 3 Eigenschaften musst du nachweisen mit der "kompakten" Definition aus der Aufgabenstellung.

zB. Wieso folgt aus der Def. in der Aufgabe: $f(x+y)=f(x)+f(y) ?

Wegen [mm]f(x+y)=f(x+1\cdot{}y)=f(x)+1\cdot{}f(y)[/mm] nach Def. in der Aufgabenstellung

[mm]=f(x)+f(y)[/mm]

Noch die beiden anderen Eigenschaften und dann

ebenso in die andere Richtung, wieso folgt aus den hiesigen 3 Eigenschaften, dass [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm] für alle [mm]x,y,\lambda[/mm] gilt?


Am besten trennst du den Beweis mal sauber nach [mm]\Rightarrow[/mm] und [mm]\Leftarrow[/mm]. (zumindest sauberer als ich es angedeutet habe ;-))

Gruß

schachuzipus



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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

Hei, vielen Dank
Ganz hab ichs nicht verstanden wie ich das machen soll. Dein aufgeschriebener Teil ist mir schon klar.

-) 0 abgebildet auf 0
f (0) = f ( 0 + [mm] \lambda [/mm] * 0) = f (0) + [mm] \lambda [/mm] * f (0) = ??
-> das in der Def. sind ja zwei vektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] und jetzt hab ich ja nur einen Nullvektor. wie kann ich dann die Def. in der angabe verwenden?

-) [mm] \lambda [/mm] * f (x)
= [mm] \lambda [/mm] * f [mm] (x_1 [/mm] + [mm] \lambda x_2 [/mm] )
?Genau die selbe Frage, habe ja nur einne Vektor

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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Fr 02.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hei, vielen Dank
>  Ganz hab ichs nicht verstanden wie ich das machen soll.
> Dein aufgeschriebener Teil ist mir schon klar.
>  
> -) 0 abgebildet auf 0
>  f (0) = f ( 0 + [mm]\lambda[/mm] * 0) = f (0) + [mm]\lambda[/mm] * f (0) =
> ??

Ja, da bleibst du stecken bei dem Problem, was $f(0)$ ist

Besser: [mm] $f(0)=f(v-v)=f(v+(-1)\cdot{}v)=f(v)+(-1)\cdot{}f(v)$ [/mm] nach der Aufgabendef.

$=f(v)-f(v)=0$

>  -> das in der Def. sind ja zwei vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] und

> jetzt hab ich ja nur einen Nullvektor. wie kann ich dann
> die Def. in der angabe verwenden?
>  
> -) [mm]\lambda[/mm] * f (x)
> = [mm]\lambda[/mm] * f [mm](x_1[/mm] + [mm]\lambda x_2[/mm] )
> ?Genau die selbe Frage, habe ja nur einne Vektor

Beginne mit [mm] $f(\lambda [/mm] v)$ und folgere, dass das [mm] $=\lambda [/mm] f(v)$ ist.

[mm] $f(\lambda v)=f(0+\lambda [/mm] v)=...$

Gruß

schachuzipus


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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Fr 02.12.2011
Autor: theresetom

danke für die schnelle antwort
$ [mm] f(\lambda v)=f(0+\lambda [/mm] v)=f (0) + [mm] \lambda [/mm] * f(v) = 0 + [mm] \lambda [/mm] f (v)= [mm] \lambda [/mm] f (v)

Da wir ja gezeigt haben oben dass 0 auf der 0 abgeibildet wird
Ersten Post- du meintest man müsse noch etwas in die andere Richtung zeigen? Meines Ermessens wäre man jetzt fertig, was fehlt denn noch?

> ebenso in die andere Richtung, wieso folgt aus den hiesigen 3 >Eigenschaften, dass $ [mm] f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $ für alle $ [mm] >x,y,\lambda [/mm] $ gilt?

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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:22 Sa 03.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> danke für die schnelle antwort
>  $ [mm]f(\lambda v)=f(0+\lambda[/mm] v)=f (0) + [mm]\lambda[/mm] * f(v) = 0 +
> [mm]\lambda[/mm] f (v)= [mm]\lambda[/mm] f (v)
>  
> Da wir ja gezeigt haben oben dass 0 auf der 0 abgeibildet
> wird

Genau das ist der springende Punkt! Das mussten wir also vorher machen ;-)

>  Ersten Post- du meintest man müsse noch etwas in die
> andere Richtung zeigen? Meines Ermessens wäre man jetzt
> fertig, was fehlt denn noch?

In der Aufgabenstellung steht doch was von "genau dann, wenn"

Wir haben gezeigt: Def. Aufgabe --> "deine" 3 definierenden Eigenschaften

Fehlt noch: "deine" 3 definierenden Eigenschaften --> [mm] $\forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y)$

>  
> > ebenso in die andere Richtung, wieso folgt aus den hiesigen
> 3 >Eigenschaften, dass [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]
> für alle [mm]>x,y,\lambda[/mm] gilt?

Jo, das meinte ich (aber ist ein Zitat oder? ;-))

Gruß

schachuzipus


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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Sa 03.12.2011
Autor: theresetom

>In der Aufgabenstellung steht doch was von "genau dann, wenn"

>Wir haben gezeigt: Def. Aufgabe --> "deine" 3 definierenden Eigenschaften

>Fehlt noch: "deine" 3 definierenden Eigenschaften --> $ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
Aber ich das nicht genau dass selbe, was wir schon getan haben?

>Jo, das meinte ich (aber ist ein Zitat oder? ;-))
Ja ist es.

[mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y)
[mm] f(x+\lambda [/mm] y)
=f(x) + f [mm] (\lambda [/mm] y) ->Linearitätseigenschaft 1
= f (x) + [mm] \lambda [/mm] f (y) ->Linearitätseigenschaft 2
?? Oder wie meintest du das? Die mit 0 hab ich nicht verwendet ;(

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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Sa 03.12.2011
Autor: leduart

Hallo
Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass die Abb. linear ist.
Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3 Eigenschaften I, II, III
dann muss die Funktion die Form haben :$ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
Gruss leduart

Bezug
                                                                                
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lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Sa 03.12.2011
Autor: theresetom


> Hallo
> Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass die Abb. linear ist.
> Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3 Eigenschaften I, II, III
> dann muss die Funktion die Form haben :$ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda [/mm] > [mm] y)=f(x)+\lambda [/mm] f(y) $
> Gruss leduart

Hallo, Verständnis fehlt mir ehrlich gesagt noch etwas.
Von was gehe ich hiermit also aus?
von welcher Seite will ich zur welchen anderen Seite?

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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 03.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> > Hallo
>  > Nein, du hast noch mal wiederholt, wie man zeigt, dass

> die Abb. linear ist.
>  > Jetzt musst du zeigen. Vors: die Abbildung hat die 3

> Eigenschaften I, II, III
>  > dann muss die Funktion die Form haben :[mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda > y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]

>  
> > Gruss leduart
>
> Hallo, Verständnis fehlt mir ehrlich gesagt noch etwas.
>  Von was gehe ich hiermit also aus?
>  von welcher Seite will ich zur welchen anderen Seite?

Das hat leduart doch ganz genau aufgeschrieben.

Du setzt für die Rückrichtung voraus, dass [mm]f[/mm] die 3 Eigenschaften, die ihr für eine lineare Abb. definiert habt, erfüllt.

Zeigen musst du, dass für [mm]f[/mm] dann gilt: [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm]

Gib dir also bel. [mm]x,y,\lambda[/mm] vor.

Dann ist [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+f(\lambda y)[/mm] nach Eigenschaft 2

[mm]=f(x)+\lambda f(y)[/mm] nach Eigenschaft ???

Das war zu zeigen - fülle die ???

Gruß

schachuzipus


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Bezug
lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Sa 03.12.2011
Autor: theresetom

ABer das hab ich doch schon oben gemacht? Und leduart meinte es wäre falsch. Außerdem ist die Eigeschaft dass 0 auf 0 abbildet nicht enthalten!
Ich zitiere (von meinen obigen Beitrag)

> $ [mm] \forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda [/mm] $ f(y)

>$ [mm] f(x+\lambda [/mm] $ y)

>  =f(x) + f $ [mm] (\lambda [/mm] $ y) ->Linearitätseigenschaft 1
> = f (x) + $ [mm] \lambda [/mm] $ f (y) ->Linearitätseigenschaft 2


Bezug
                                                                                                        
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lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Sa 03.12.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> ABer das hab ich doch schon oben gemacht?

Ja, hast du, wie ich gerade sehe.

> Und leduart
> meinte es wäre falsch.

Du hast die Nummern der Eigenschaften nicht ganz konsistent, aber sonst passt das

> Außerdem ist die Eigeschaft dass 0
> auf 0 abbildet nicht enthalten!

Wieso?

Das musst du doch gar nicht zeigen.

>  Ich zitiere (von meinen obigen Beitrag)
> > [mm]\forall x,y,\lambda: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda[/mm] f(y)
>  >[mm] f(x+\lambda[/mm] y)
>  >  =f(x) + f [mm](\lambda[/mm] y) ->Linearitätseigenschaft 1

Das ist Eigenschaft 2 in der von dir aufgeschriebenen Reihenfolge

>  > = f (x) + [mm]\lambda[/mm] f (y) ->Linearitätseigenschaft 2


Dies ist Eigenschaft 3

Nochmal zur Struktur (auch wenn es zum wiederholten Male ist, schaden kann es nicht):

Es ist zu zeigen für [mm]f:V\to W[/mm], [mm]V,W \ \ \ \IK-\text{Vektorräume}[/mm] mit [mm]\IK[/mm] ein Körper:

[mm]\forall x,y\in V,\lambda\in\IK: f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y) \ \ \gdw \ \ f \ \text{lineare Abbildung, dh. die 3 Eigenschaften aus eurer Def. in der VL gelten}[/mm]

Die Richtung [mm]\Rightarrow[/mm] hatten wir zuerst gemacht, indem wir aus [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm] für bel. [mm]x,y,\lambda[/mm] gefolgert hatten, dass

1) [mm]f(0)=0[/mm]

2) [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm]

3) [mm]f(\lambda x)=\lambda f(x)[/mm]

gilt.

Die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] hatte ich bis auf das fehlende ?? vorgemacht.

Da ist zu zeigen, dass aus 1),2),3) folgt, dass [mm]f(x+\lambda y)=f(x)+\lambda f(y)[/mm] folgt.

Dass 0 auf 0 abgebildet wird, ist dabei nicht zu zeigen ...

Gruß

schachuzipus


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