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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Nachbar |
| Aufgabe | 1. Was ist der Kern einer lin. Abb. h:V [mm] \to [/mm] W ? Geben Sie den Beweis, dass Kern(h) ein Unterraum von V ist.
2. Was sagt die Dimesionsformel für zwei Unterräume eines Vektorraums? Was besagt die Dimensionsformel für eine lin. Abb.?
3. Über die lin. Abb. f,g: [mm] \IR^{7}\to \IR^{6} [/mm] ist nur bekannt, dass Kern(f) [mm] \cap [/mm] Kern(g) = {Nullvektor} gilt. Zeigen Sie, das es Vektoren u,v [mm] \in \IR^{7} [/mm] gibt derart, dass f(u) =g(v) [mm] \not= [/mm] Nullvektor gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1. Kern(h) ={v [mm] \in [/mm] V | [mm] h(v)=0_{W}} [/mm]
Kern(h) UVR von V [mm] \gdw h(0_{V}) [/mm] = [mm] 0_{W}\Rightarrow 0_{V} \in [/mm] Kern(h).
Nun sei v und v´ [mm] \in [/mm] Kern(h)
[mm] h(\lambda [/mm] v + [mm] \lambda [/mm] ´v ´) = [mm] \lambda [/mm] h (v) + [mm] \lambda [/mm] ´ h (v ´) = [mm] \lambda 0_{w} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] ´ [mm] 0_{w} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] und [mm] \lambda [/mm] ´ [mm] \in \IR
[/mm]
Also [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \lambda [/mm] ´v ´ [mm] \in [/mm] Kern(h) daraus folgt Kern(h) ist ein Untervektorraum (UVR).
2. UVR [mm] \gdw [/mm] dim( U+W) = dim (U) + dim(W) - dim ( U [mm] \cap [/mm] W)
lin. Abb. [mm] \gdw [/mm] dim (V) = dim Bild(f) + dim Kern(f)
3. ja hier gehts jetzt los die Fragerei, im Prinzip hab ich alles was ich brauche bei erstens und zweitens schon erwähnt.... mir fehlt die Inspiration das zu beweisen... der Schnitt vom Kern(f) und dem Kern(g) soll die Menge sein, die den Nullvektor enthält , ich muss jetzt zeigen das es Vektoren gibt , so dass f(u) = g(v) ungleich dem Nullvektor gilt....
für ein zwei Inspirationen wäre ich sehr dankbar
Ich habe meine Frage auch auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Nachbar |
natürlich hab ich diese Frage noch nirgens in ein Forum gestellt...was mir da wieder bei copy & paste für ein Fehler unterlaufen ist, kann ich gerad nicht mehr nachvollziehen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Sa 21.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ueberleg mal, dass Kern von f und Kern von v mindestens eindimensional sein muessen .
angenommen , jetzt nimm ein Vektor aus kern (f) und einen aus Kern(g)g, dass es die gibt weisst du. koennen es die gleichen sein?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Sa 21.02.2009 | | Autor: | Nachbar |
"Jetzt nimm ein Vektor aus Kern (f) und einen aus Kern(g), dass es die gibt weisst du. koennen es die gleichen sein? "
die können meiner Meinung nach nicht gleich sein ! ( Schnittmenge war ja nur der Nullvektor , den wirst du ja nicht gemeint haben ).
Ich denke, ich brauche zwei, die definitiv nicht aus dem Kern sind, weil sie ja eben "nicht" auf den Nullvektor abgebildet werden sollen.
Vielleicht ist ja die Frage, ob es die gibt mit den Dimensionsformeln zu beantworten, aber ob die Bilder dann gleich sein müssen oder können, ist mir nicht klar.
edit:
ich glaube , hoffe , dass ich es jetzt habe !
und zwar:
f,g sind lin. Abb. von [mm] \IR^{7} \to \IR^{6}
[/mm]
dim Bild ( f) und dim Bild(g) [mm] \le [/mm] 6 [mm] \Rightarrow [/mm] dim Kern(f) und Kern(g) [mm] \ge [/mm] 1
Kern von f, g sind UVR´e von [mm] \IR^{7}
[/mm]
dim Kern(f) + dim Kern(g) = dim (Kern(f)+dim Kern(g)) + dim (Kern(f) [mm] \cap [/mm] dim Kern(g))
[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \ge [/mm] 1 = [mm] \le [/mm] 7 +0
[mm] \Rightarrow [/mm] Nullvektor =v,u [mm] \in [/mm] dim (Kern(f) [mm] \cap [/mm] dim Kern(g))
[mm] \Rightarrow [/mm] f(u) [mm] \not= [/mm] Nullvektor [mm] \wedge [/mm] g(v) [mm] \not= [/mm] Nullvektor [mm] \Box
[/mm]
kann man das so stehen lassen oder hab ich mal wieder , wie so oft die Kirche ums Dorf getragen ???
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