lineare Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 16.02.2006 | | Autor: | dauwer |
| Aufgabe | Es seien Vektoren [mm] $$v_{1}=\vektor{0\\1\\1},~v_{2}=\vektor{1\\1\\-1},~v_{3}=\vektor{1\\\lambda\\0}$$
[/mm]
[mm] $$w_{1}=\vektor{1\\0\\2},~w_{2}=\vektor{-1\\-1\\1},~w_{3}=\vektor{0\\-1\\3}$$
[/mm]
aus [mm] $(\IR^{3},+,\cdot)$ [/mm] gegeben
Bestimmen Sie alle [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] für die es eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR^{3}$ [/mm] mit den Eigenschaften [mm] $f(v_{1})=w_{1},~f(v_{2})=w_{2}~und~f(v_{3})=w_{3}$ [/mm] gibt |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe zu lösen, weiss aber leider nicht so recht wie ich das angehen soll.
Ich habe mir da was mit dem Gauß Algorithmus ausgedacht, weiss aber nicht ob das korrekt ist, und ich komme auch leider damit nicht weiter.
Grüsse, Dauwer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 16.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe diese Aufgabe zu lösen, weiss aber leider nicht so
> recht wie ich das angehen soll.
Wenn die [m]\{v_i\}[/m] linear unabhängig sind, also eine Basis bilden, gibt es genau eine lineare Abbildung, die die Bedingung erfüllt. Wenn sie linaer abhängig sind, dann muss man schauen, ob die Bedingung überhaupt erfüllbar ist. Wenn ja, dann kann man, wenn man die Vektoren zu einer Basis ergänzt, die linaere Abbildung auf diesen Vektoren so festlegen, auf den ergänzten Vektoren beliebig fortsetzen.
> Ich habe mir da was mit dem Gauß Algorithmus ausgedacht,
> weiss aber nicht ob das korrekt ist, und ich komme auch
> leider damit nicht weiter.
Das solltest du dann vielleicht auch hier hinschreiben, was du gemacht hast.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Do 16.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
fuer [mm] $\lambda\not= [/mm] 2$ sind die v's unabhaengig !
(ueber determinante pruefen !)
dann kann man aber einfach festlegen, dass [mm] $f(v_i)=w_i$ [/mm] sein soll und damit ist eine (nicht-injektive) lineare Abbildung schon festgelegt...
(und existiert also auch)
fuer [mm] $\lambda=2$ [/mm] gilt : [mm] $v_1+v_2=v_3$, [/mm] aber auch : [mm] $w_1+w_2=w_3$
[/mm]
also setze [mm] $f(v_1)=w_1$ [/mm] und [mm] $f(v_2)=w_2$
[/mm]
ergaenze einen dritten Basisvektor (statt [mm] v_3) [/mm] und setze sein Bild beliebig.
dann macht die Abbildung also auch, was sie soll...
also gilt es fuer alle Lambdas
(bitte alles ueberpruefen !!!!!!)
und in Zukunft bitte irgendwie reagieren bevor man eine Frage einfach wieder auf "nicht-beantwortet" setzt.
viele Gruesse
DaMenge
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