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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | Gegenben seien folgende lineare Abbildungen fi: [mm] \IR^5 \to\IR
[/mm]
f1: [mm] (\alpha1, \alpha2,\alpha3, \alpha4, \alpha5)\mapsto (\alpha1+\alpha2+\alpha3+ \alpha4+\alpha5)
[/mm]
f2: [mm] (\alpha1, \alpha2,\alpha3, \alpha4, \alpha5)\mapsto (\alpha1+2\alpha2+3\alpha3+ 4\alpha4+5\alpha5)
[/mm]
[mm] f3:(\alpha1, \alpha2,\alpha3, \alpha4, \alpha5)\mapsto ((\alpha1, -\alpha2)
[/mm]
Untersuchen Sie ob ( f1, f2, f3) ein linear unabhängiges System in [mm] L(\IR^5,\IR) [/mm] bildet. |
Also mein Ansatz wäre jetzt gewesen, zu überprüfen, ob die Bildvektoren von (f1, f2, f3) linear unabhängig sind...Aber irgendwie komme ich da nicht weiter. Von daher wäre es nett, wenn mir zu diese Aufgabe jemand einen Ansatz geben könnte.
Danke, Millili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Sa 16.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Milli,
Du könntest versuchen die drei Gleichungen als LGS zu schreiben
und von der zugehörigen Matrix den Rang bestimmen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \\ \alpha_5} [/mm] = [mm] \vektor{f_1(\alpha) \\ f_2(\alpha) \\ f_3(\alpha)}
[/mm]
Mein Matlab sagt mir, dass die Matrix Rang 3 hat. Die drei
Gleichungen sind also linear unabhängig.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
Alles klar, danke für deine Hilfe;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mo 18.06.2007 | | Autor: | D-C |
> Mein Matlab sagt mir, dass die Matrix Rang 3 hat. Die drei
> Gleichungen sind also linear unabhängig.
Hallo,
Also reicht es das zu zeigen!? Oder muss man da noch was anderes machen?
Gruß
D-C>
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Hallo,
ich würde die Aufgabe ganz direkt über die Definition der linearen Unabhängigkeit angehen.
Wann sind [mm] f_1, f_2, f_3 [/mm] linear unabhängig?
Wenn aus [mm] kf_1+lf_2+mf_3=0 [/mm] folgt k=l=m=0.
Sei also [mm] kf_1+lf_2+mf_3=0
[/mm]
==> Für alle [mm] (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5) \in \IR^5 [/mm] gilt
[mm] kf_1(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)+lf_2(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)+mf_3(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=0
[/mm]
==> [mm] (...)a_1+(....)a_2+(....)a_3+(....)a_4+(....)a_5=0
[/mm]
==> obige Gleichung gilt jeweils für die Vektoren der Standardbasis, also für [mm] e_1,...,e_5.
[/mm]
Hieraus erhältst Du ein GS aus 5 Gleichungen mit den drei Variablen k,l,m, welches Du dann lösen kannst.
Gibt es nur die Lösung k=l=m=0, so sind die Funktionen unabhängig, andernfalls abhängig.
Gruß v. Angela
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