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| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] und f: V [mm] \to [/mm] V eine Abbildung mit f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x,y [mm] \in [/mm] V. Zeigen Sie, dass f [mm] \IQ-linear [/mm] ist. |
Hallo..
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe auf den ersten Blick schien sie ja einfach aber langsam kommen mir Zweifel..was ich alles zeigen muss.
Laut Definition ist eine Abbildung linear falls gilt:
a) f(a+b)=f(a)+f(b) für a,b [mm] \in [/mm] V.
b) [mm] f(\alpha [/mm] a)= [mm] \alpha [/mm] f(a) für [mm] \alpha \in [/mm] K , a [mm] \in [/mm] V.
Nun meine erste Frage die Bedingung eins ist ja sozusagen laut Aufgabenstellung vorgegeben..muss ich dies trotzdem noch mal formal zeigen??
und zeige ich b so:
[mm] f(\alpha (x+y)=f(\alpha [/mm] x+ [mm] \alpha [/mm] y) = [mm] f(\alpha x)+f(\alpha y)=\alpha [/mm] f(x)+ [mm] \alpha f(y)=\alpha [/mm] f(x+y)
habe ich mir das jetzt zu einfach an dieser Stelle gemacht?
wäre über Hilfe sehr dankbar...
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Sei V ein Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] und f: V [mm]\to[/mm] V eine
> Abbildung mit f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x,y [mm]\in[/mm] V.
> Zeigen Sie, dass f [mm]\IQ-linear[/mm] ist.
> Hallo..
>
> ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe auf den ersten
> Blick schien sie ja einfach aber langsam kommen mir
> Zweifel..was ich alles zeigen muss.
>
> Laut Definition ist eine Abbildung linear falls gilt:
> a) f(a+b)=f(a)+f(b) für a,b [mm]\in[/mm] V.
> b) [mm]f(\alpha[/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a) für [mm]\alpha \in[/mm] K , a [mm]\in[/mm] V.
>
> Nun meine erste Frage die Bedingung eins ist ja sozusagen
> laut Aufgabenstellung vorgegeben ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ..muss ich dies trotzdem
> noch mal formal zeigen??
Nein, die steht in der Voraussetzung
>
> und zeige ich b so:
> [mm]f(\alpha (x+y)=f(\alpha[/mm] x+ [mm]\alpha[/mm] y) = [mm]f(\alpha x)+f(\alpha y)=\alpha[/mm]
> f(x)+ [mm]\alpha f(y)=\alpha[/mm] f(x+y)
>
> habe ich mir das jetzt zu einfach an dieser Stelle
> gemacht?
Ja, du benutzt im letzten Schritt, dass für [mm] $\alpha\in\IQ$ [/mm] gilt [mm] $f(\alpha x)=\alpha [/mm] f(x)$, aber das ist ja zu zeigen ...
Ich denke, du musst [mm] $f(\alpha x)=\alpha [/mm] f(x)$ Schritt für Schritt zeigen.
0) Für [mm] $\alpha=0$
[/mm]
1) Für [mm] $\alpha=n\in\IN$
[/mm]
Dazu nutze die Additivität von f aus und mache ne Induktion nach n
2) Für [mm] $\alpha=-n$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm] Induktion, nutze 1)
3) Für [mm] $\alpha=\frac{1}{n}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Versuch mal, wie weit du damit kommst ...
>
> wäre über Hilfe sehr dankbar...
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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> > und zeige ich b so:
> > [mm]f(\alpha (x+y)=f(\alpha[/mm] x+ [mm]\alpha[/mm] y) = [mm]f(\alpha x)+f(\alpha y)=\alpha[/mm]
> > f(x)+ [mm]\alpha f(y)=\alpha[/mm] f(x+y)
> >
> > habe ich mir das jetzt zu einfach an dieser Stelle
> > gemacht?
>
> Ja, du benutzt im letzten Schritt, dass für [mm]\alpha\in\IQ[/mm]
> gilt [mm]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/mm], aber das ist ja zu zeigen
> ...
dacht ich mir schon , dass da was nicht stimmen kann...
> Ich denke, du musst [mm]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/mm] Schritt für
> Schritt zeigen.
>
> 0) Für [mm]\alpha=0[/mm]
sag ich denn da einfach f(0x) =0=0 f(x)
oder muss ich die 0 in der formel oben von mir einsetzten? aber dann würde ich ja schon weider das verwenden was ich zeigen soll oder?
> 1) Für [mm]\alpha=n\in\IN[/mm]
so das versuch ich jetzt mal mal sehen wie weit ich dort komme...
>
> Dazu nutze die Additivität von f aus und mache ne
> Induktion nach n
>
> 2) Für [mm]\alpha=-n[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm] Induktion, nutze 1)
>
> 3) Für [mm]\alpha=\frac{1}{n}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>
>
> Versuch mal, wie weit du damit kommst ...
>
> >
> > wäre über Hilfe sehr dankbar...
> >
> > LG Schmetterfee
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schmetterfee,
ich kanns einfach nicht lassen...  Aber diesmal nur kurz.
> > 0) Für [mm]\alpha=0[/mm]
>
> sag ich denn da einfach f(0x) =0=0 f(x)
Die rechte Gleichheit stimmt (in jedem Vektorraum $V$ gilt [mm] $0=0\cdot [/mm] v$ für jeden Vektor [mm] $v\inV$), [/mm] die linke muss erst noch gezeigt werden. Dazu bedarf es einen kleinen Tricks: Betrachte $f(0+0)$ und berechne diesen Vektor auf zwei Arten.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo Schmetterfee,
>
> ich kanns einfach nicht lassen... Aber diesmal nur
> kurz.
Freut mich das du wieder da bist^^ auch wenn nur kurz...
> > > 0) Für [mm]\alpha=0[/mm]
> >
> > sag ich denn da einfach f(0x) =0=0 f(x)
> Die rechte Gleichheit stimmt (in jedem Vektorraum [mm]V[/mm] gilt
> [mm]0=0\cdot v[/mm] für jeden Vektor [mm]v\inV[/mm]), die linke muss erst
> noch gezeigt werden. Dazu bedarf es einen kleinen Tricks:
> Betrachte [mm]f(0+0)[/mm] und berechne diesen Vektor auf zwei
> Arten.
f(0+0)=0=f(0)+f(0)
aber wie bringe ich denn jetzt mein [mm] \alpha [/mm] mit ins Spiel?
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> f(0+0)=0=f(0)+f(0)
Das muss erst noch gezeigt werden. $f(0+0)=f(0)+f(0)$ gilt aber nach der Voraussetzung $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] V$. Außerdem gilt $f(0+0)=f(0)$. Versuche nun $f(0)=0$ zu folgern.
> aber wie bringe ich denn jetzt mein [mm]\alpha[/mm] mit ins Spiel?
Für [mm] $\alpha=0$ [/mm] gilt, wenn du $f(0)=0$ gezeigt hast: [mm] $f(\alpha\cdot a)=f(0\cdot a)=f(0)=0=0\cdot f(a)=\alpha\cdot [/mm] f(a)$.
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> > f(0+0)=0=f(0)+f(0)
> Das muss erst noch gezeigt werden. [mm]f(0+0)=f(0)+f(0)[/mm] gilt
> aber nach der Voraussetzung [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] für alle
> [mm]x,y\in V[/mm]. Außerdem gilt [mm]f(0+0)=f(0)[/mm]. Versuche nun [mm]f(0)=0[/mm]
> zu folgern.
ich steh grad voll auf dem Schlauch..ich hätte einfach gesagt f(0)=0 aber damit zeig ich ja nix...sondern behaupte nur... ich glaub da muss ich noch morgen drüber nachdenken...
> > aber wie bringe ich denn jetzt mein [mm]\alpha[/mm] mit ins Spiel?
> Für [mm]\alpha=0[/mm] gilt, wenn du [mm]f(0)=0[/mm] gezeigt hast:
> [mm]f(\alpha\cdot a)=f(0\cdot a)=f(0)=0=0\cdot f(a)=\alpha\cdot f(a)[/mm].
muss ich denn für a x+y einsetzten?..weil in der aufgabe ja x+y steht oder kann ich das allgemein mit a machen?..eigentlich nicht oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ich steh grad voll auf dem Schlauch..ich hätte einfach
> gesagt f(0)=0 aber damit zeig ich ja nix...sondern behaupte
> nur... ich glaub da muss ich noch morgen drüber
> nachdenken...
Gut. Dann guck dir am besten morgen nochmal meinen Hinweis an.
> > [mm]f(\alpha\cdot a)=f(0\cdot a)=f(0)=0=0\cdot f(a)=\alpha\cdot f(a)[/mm].
> muss ich denn für a x+y einsetzten?..weil in der aufgabe
> ja x+y steht oder kann ich das allgemein mit a
> machen?..eigentlich nicht oder?
[mm] $f(\alpha\cdot a)=\alpha\cdot [/mm] f(a)$ muss für beliebiges [mm] $a\in [/mm] V$ gezeigt werden. Und jeder einzelne Schritt der Gleichungskette stimmt auch für beliebiges [mm] $a\in [/mm] V$ (abgesehen davon, dass $f(0)=0$ noch nicht gezeigt ist). Wenn ein einzelnes Gleichheitszeichen unklar ist, einfach konkret danach fragen! Die Voraussetzung mit dem $x+y$ braucht man an dieser Stelle gar nicht (außer zum Beweis von $f(0)=0$).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Di 12.01.2010 | | Autor: | Herby |
Moin Schachuzipus,
> Hallo Schmetterfee,
>
> > Sei V ein Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] und f: V [mm]\to[/mm] V eine
> > Abbildung mit f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x,y [mm]\in[/mm] V.
> > Zeigen Sie, dass f [mm]\IQ-linear[/mm] ist.
> > Hallo..
> >
> > ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe auf den ersten
> > Blick schien sie ja einfach aber langsam kommen mir
> > Zweifel..was ich alles zeigen muss.
> >
> > Laut Definition ist eine Abbildung linear falls gilt:
> > a) f(a+b)=f(a)+f(b) für a,b [mm]\in[/mm] V.
> > b) [mm]f(\alpha[/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a) für [mm]\alpha \in[/mm] K , a [mm]\in[/mm]
> V.
> >
> > Nun meine erste Frage die Bedingung eins ist ja sozusagen
> > laut Aufgabenstellung vorgegeben ..muss ich dies
> trotzdem
> > noch mal formal zeigen??
>
> Nein, die steht in der Voraussetzung
>
> >
> > und zeige ich b so:
> > [mm]f(\alpha (x+y)=f(\alpha[/mm] x+ [mm]\alpha[/mm] y) = [mm]f(\alpha x)+f(\alpha y)=\alpha[/mm]
> > f(x)+ [mm]\alpha f(y)=\alpha[/mm] f(x+y)
> >
> > habe ich mir das jetzt zu einfach an dieser Stelle
> > gemacht?
>
> Ja, du benutzt im letzten Schritt, dass für [mm]\alpha\in\IQ[/mm]
> gilt [mm]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/mm], aber das ist ja zu zeigen
> ...
>
> Ich denke, du musst [mm]f(\alpha x)=\alpha f(x)[/mm] Schritt für
> Schritt zeigen.
>
> 0) Für [mm]\alpha=0[/mm]
>
> 1) Für [mm]\alpha=n\in\IN[/mm]
>
> Dazu nutze die Additivität von f aus und mache ne
> Induktion nach n
>
> 2) Für [mm]\alpha=-n[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm] Induktion, nutze 1)
>
> 3) Für [mm]\alpha=\frac{1}{n}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>
>
> Versuch mal, wie weit du damit kommst ...
das ist sowas, bei dem ich kein Plan mehr habe (außer dass mich das wie Sau ärgert, ist es völlig schnuppe) - gibt es dafür auch mal eine Erklärung für Dummies - WOOOO? - nu sach nicht: "Inner Unibibliothek"
Lg
Herby
ps: war nur so 'ne Mitteilung, weil mich das echt trübsinnig macht.
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Induktionsanfang:
n=1
f [mm] (\alpha [/mm] x)= f(1x)= f(x)= 1 f(x)= [mm] \alpha [/mm] f(x)
n=2
f [mm] (\alpha [/mm] x)= f(2x)= f(x+x)= f(x)+f(x)= 2f(x)= [mm] \alpha [/mm] f(x)
Induktionsannahme:
Es gilt f [mm] (\alpha [/mm] x)= [mm] \alpha [/mm] f(x) für ein gewissen n [mm] \in \IN. [/mm] Nun wollen wir zeigen, dass ea auch für n+1 gilt.
Induktionsschritt:
[mm] f(\alpha [/mm] x)= f ((n+1) x)= [mm] f(\underbrace{x+...+x}_{=n+1})= \underbrace{f(x)+...+f(x)}_{=n+1}= [/mm] (n+1) f(x)= [mm] \alpha [/mm] f(x)
Somit hätten wir gezeigt, dass für alle [mm] \alpha= [/mm] n [mm] \in \IN f(\alpha [/mm] x)= [mm] \alpha [/mm] f(x) gilt.
So kann ich das so zeigen und das jetzt für die anderen Fälle probieren? Muss ich für mein x x+y wie in der Aufgabe einsetzten oder geht das auch so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Induktionsanfang:
> n=1
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(1x)= f(x)= 1 f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
>
> n=2
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(2x)= f(x+x)= f(x)+f(x)= 2f(x)= [mm]\alpha[/mm]
> f(x)
>
> Induktionsannahme:
> Es gilt f [mm](\alpha[/mm] x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) für ein gewissen n [mm]\in \IN.[/mm]
> Nun wollen wir zeigen, dass ea auch für n+1 gilt.
>
> Induktionsschritt:
> [mm]f(\alpha[/mm] x)= f ((n+1) x)= [mm]f(\underbrace{x+...+x}_{=n+1})= \underbrace{f(x)+...+f(x)}_{=n+1}=[/mm]
> (n+1) f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
>
> Somit hätten wir gezeigt, dass für alle [mm]\alpha=[/mm] n [mm]\in \IN f(\alpha[/mm]
> x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) gilt.
Super!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Jetzt fällt mir gerade auf, dass das ja gar kein richtiger Induktionsbeweis ist, weil du nirgendwo die Induktionsannahme verwendet hast. Es würde also genügen, nur das, was bisher Induktionsschritt ist, als gesamten Beweis zu verwenden (schöner mit $n$ anstelle von $n+1$).
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also reicht der Induktionsschritt um zu zeigen, dass es für n [mm] \in \IN [/mm] gilt und ich kann den Rest weglassen ja?...
damit es schöner aussieht mache ich auch aus n+1 eifnach nur n:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> also reicht der Induktionsschritt um zu zeigen, dass es
> für n [mm]\in \IN[/mm] gilt und ich kann den Rest weglassen ja?...
>
> damit es schöner aussieht mache ich auch aus n+1 eifnach
> nur n:)
Genau! Vorausgesetzt [mm] $\IN$ [/mm] sind bei euch die natürlichen Zahlen OHNE die $0$. Für $n=0$ funktioniert dieser Beweis nämlich nicht. (Also kommst du nicht drumherum, $f(0)=0$ zu zeigen.)
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Hallo ich sitze immer noch an der Aufgabe und habe mir heut Gedanken gemacht...
Also für [mm] \alpha [/mm] =0 müsste doch folgendes gelten:
f(x+y)=f(0+0)=(0+0)=0+0=f(0)+f(0)=f(x)+f(y)
somit gilt f(0)=0
also f(x+y)=f(0x+0y)=f(0x)+f(0y)=0f(x)+0f(y)=0f
geht das so oder is da noch ein denkfehler drin?
> Induktionsanfang:
> n=1
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(1x)= f(x)= 1 f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
>
> n=2
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(2x)= f(x+x)= f(x)+f(x)= 2f(x)= [mm]\alpha[/mm]
> f(x)
>
> Induktionsannahme:
> Es gilt f [mm](\alpha[/mm] x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) für ein gewissen n [mm]\in \IN.[/mm]
> Nun wollen wir zeigen, dass es auch für alle n gilt.
>
> Induktionsschritt:
> [mm]f(\alpha[/mm] x)= f ((n) x)= [mm]f(\underbrace{x+...+x}_{=n})= \underbrace{f(x)+...+f(x)}_{=n}=[/mm]
> (n) f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
>
> Somit hätten wir gezeigt, dass für alle [mm]\alpha=[/mm] n [mm]\in \IN f(\alpha[/mm]
> x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) gilt.
>
wieso ist die Induktion falsch??..wie muss ich denn meine Induktionsannahme formulieren amit sie richtig ist??
So für [mm] \alpha [/mm] =-1 habe ich die induktion jetzt so gedacht weil ich es anders nicht hin bekomme..leider
Induktionsanfang:
n=-1
f [mm](\alpha[/mm] x)= f(-1x)=- f(x)= -1 f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
n=-2
f [mm](\alpha[/mm] x)= f(-2x)= f((-x)+(-x))= (-f(x))+(-f(x))= -2f(x)= [mm]\alpha[/mm]
f(x)
Induktionsannahme:
???
Induktionsschritt:
[mm]f(\alpha[/mm] x)= f ((-n) x)= [mm]f(\underbrace{(-x)+...+(-x)}_{=n})= \underbrace{(-f(x))+...+(-f(x))}_{=n}=[/mm]
(-n) f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
ist das so richtig oder ist ein Fehler in meinem Gedankengang?
Und wie zeige ich dies nun für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] ??
LG Schmetterfee
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Ist denn keiner da der was dazu sagen kann oder mag?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Also für [mm]\alpha[/mm] =0 müsste doch folgendes gelten:
> f(x+y)=f(0+0)=(0+0)=0+0=f(0)+f(0)=f(x)+f(y)
(Was sind x und y?) Die zweite Gleichheit muss erst noch gezeigt werden.
Dazu hatte ich dir den Hinweis $f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)$ angedeutet (Ist dir klar, warum jede einzelne Gleichheit gilt?). Wie kannst du daraus auf $f(0)=0$ schließen?
> also f(x+y)=f(0x+0y)=f(0x)+f(0y)=0f(x)+0f(y)=0f
> geht das so oder is da noch ein denkfehler drin?
Zu zeigen ist [mm] $f(\alpha a)=\alpha [/mm] f(a)$. Warum betrachtest du $f(x+y)$?
> > Induktionsanfang:
> > n=1
> > f [mm](\alpha[/mm] x)= f(1x)= f(x)= 1 f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
> >
> > n=2
> > f [mm](\alpha[/mm] x)= f(2x)= f(x+x)= f(x)+f(x)= 2f(x)= [mm]\alpha[/mm]
> > f(x)
> >
> > Induktionsannahme:
> > Es gilt f [mm](\alpha[/mm] x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) für ein gewissen n
> [mm]\in \IN.[/mm]
> > Nun wollen wir zeigen, dass es auch für alle n gilt.
> >
> > Induktionsschritt:
> > [mm]f(\alpha[/mm] x)= f ((n) x)= [mm]f(\underbrace{x+...+x}_{=n})= \underbrace{f(x)+...+f(x)}_{=n}=[/mm]
> > (n) f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
> >
> > Somit hätten wir gezeigt, dass für alle [mm]\alpha=[/mm] n [mm]\in \IN f(\alpha[/mm]
> > x)= [mm]\alpha[/mm] f(x) gilt.
> >
> wieso ist die Induktion falsch??..wie muss ich denn meine
> Induktionsannahme formulieren amit sie richtig ist??
WENN du das per Induktion machst und in der Induktionsannahme die Gültigkeit für n voraussetzt, musst du im Induktionsschritt die Gültigkeit für n+1 zeigen. Aber du brauchst bei deinem Vorgehen gar keine Induktion. Nimm einfach das, was jetzt im Induktionsschritt formuliert ist und du hast einen kompletten Beweis für alle [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$.
[/mm]
> So für [mm]\alpha[/mm] =-1 habe ich die induktion jetzt so gedacht
> weil ich es anders nicht hin bekomme..leider
Du zeigst die Gültigkeit von [mm] $f(\alpha a)=\alpha [/mm] f(a)$ für [mm] $\alpha=-m$ [/mm] (nicht für nur für [mm] $\alpha=-1$) [/mm] für alle [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] per Induktion nach m.
> Induktionsanfang:
> n=-1
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(-1x)=- f(x)= -1 f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
Erneut ist die zweite Gleichheit erst zu zeigen.
> n=-2
> f [mm](\alpha[/mm] x)= f(-2x)= f((-x)+(-x))= (-f(x))+(-f(x))=
> -2f(x)= [mm]\alpha[/mm]
> f(x)
In einem fertigen Beweis braucht dieser Fall gar nicht gesondert aufgeführt zu werden. Aber vielleicht hat er dir ja bei der Ideenfindung für den Induktionsschritt geholfen. Es stimmt alles, wenn man den Fall [mm] \alpha=-1 [/mm] als bewiesen annimmt.
> Induktionsannahme:
> ???
>
> Induktionsschritt:
> [mm]f(\alpha[/mm] x)= f ((-n) x)=
> [mm]f(\underbrace{(-x)+...+(-x)}_{=n})= \underbrace{(-f(x))+...+(-f(x))}_{=n}=[/mm]
> (-n) f(x)= [mm]\alpha[/mm] f(x)
Erneut reicht der Inhalt deines Induktionsschrittes völlig aus, um ohne Induktion die Aussage für alle [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] zu zeigen. Du verwendest allerdings die Gültigkeit für den Fall [mm] $\alpha=-1$, [/mm] so dass du um dessen Betrachtung trotzdem nicht herumkommst.
Für den Fall [mm] $\alpha=-1$ [/mm] betrachte $f(a+(-1)a)$ und rechne diesen Vektor analog zur obigen Betrachtung von $f(0+0)$ auf zwei Arten aus. Dabei kannst du $f(0)=0$ ausnutzen.
> Und wie zeige ich dies nun für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit
> n [mm]\in \IN[/mm] ??
Weiterer Post dazu folgt.
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> > Also für [mm]\alpha[/mm] =0 müsste doch folgendes gelten:
> > f(x+y)=f(0+0)=(0+0)=0+0=f(0)+f(0)=f(x)+f(y)
> (Was sind x und y?) Die zweite Gleichheit muss erst noch
> gezeigt werden.
>
> Dazu hatte ich dir den Hinweis [mm]f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)[/mm]
> angedeutet (Ist dir klar, warum jede einzelne Gleichheit
> gilt?). Wie kannst du daraus auf [mm]f(0)=0[/mm] schließen?
das is irgendwie meine problem da komm ich gedanklich nicht hin, dass wahrscheinlich total trivial aber mir geht da kein Licht auf...
>
> > also f(x+y)=f(0x+0y)=f(0x)+f(0y)=0f(x)+0f(y)=0f
> > geht das so oder is da noch ein denkfehler drin?
> Zu zeigen ist [mm]f(\alpha a)=\alpha f(a)[/mm]. Warum betrachtest
> du [mm]f(x+y)[/mm]?
da is glaub ich mein denkfehler ich bin der meinung das ich die Vorrausetzung der aufgabe immer irgendiwe mit einbringen muss..
> In einem fertigen Beweis braucht dieser Fall gar nicht
> gesondert aufgeführt zu werden. Aber vielleicht hat er dir
> ja bei der Ideenfindung für den Induktionsschritt
> geholfen. Es stimmt alles, wenn man den Fall [mm]\alpha=-1[/mm] als
> bewiesen annimmt.
>
> Für den Fall [mm]\alpha=-1[/mm] betrachte [mm]f(a+(-1)a)[/mm] und rechne
> diesen Vektor analog zur obigen Betrachtung von [mm]f(0+0)[/mm] auf
> zwei Arten aus. Dabei kannst du [mm]f(0)=0[/mm] ausnutzen.
ja da habe ich heut auch schon hin und her gerechnet:
f( [mm] \alpha [/mm] a+ - [mm] \alpha [/mm] a)= f [mm] (\underbrace{a+...+a}_{=\alpha}+ \underbrace{(-a)+...+(-a)}_{=\alpha})=f(0)=0
[/mm]
aber wie meinst du denn das ich das auf 2 art und weisen berechnen soll?
>
> > Und wie zeige ich dies nun für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit
> > n [mm]\in \IN[/mm] ??
> Weiterer Post dazu folgt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Dazu hatte ich dir den Hinweis [mm]f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0)[/mm]
> > angedeutet (Ist dir klar, warum jede einzelne Gleichheit
> > gilt?). Wie kannst du daraus auf [mm]f(0)=0[/mm] schließen?
>
> das is irgendwie meine problem da komm ich gedanklich nicht
> hin, dass wahrscheinlich total trivial aber mir geht da
> kein Licht auf...
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung $f(0)+f(0)=f(0)$ den Vektor $f(0)$ ab und du erhältst die Gleichung $f(0)=0$.
> da is glaub ich mein denkfehler ich bin der meinung das ich
> die Vorrausetzung der aufgabe immer irgendiwe mit
> einbringen muss..
Irgendwo schon, das stimmt natürlich. Aber für geschickt gewählte x und y, wie ich das z.B. bei der Gleichung $f(0+0)=f(0)+f(0)$ $(x=0,y=0)$ getan habe.
> > Für den Fall [mm]\alpha=-1[/mm] betrachte [mm]f(a+(-1)a)[/mm] und rechne
> > diesen Vektor analog zur obigen Betrachtung von [mm]f(0+0)[/mm] auf
> > zwei Arten aus. Dabei kannst du [mm]f(0)=0[/mm] ausnutzen.
>
> ja da habe ich heut auch schon hin und her gerechnet:
> f( [mm]\alpha[/mm] a+ - [mm]\alpha[/mm] a)= f
> [mm](\underbrace{a+...+a}_{=\alpha}+ \underbrace{(-a)+...+(-a)}_{=\alpha})=f(0)=0[/mm]
Du betrachtest jetzt nicht [mm] $\alpha=-1$, [/mm] sondern anscheinend [mm] $\alpha\in\IN$? [/mm] Dann stimmt die Rechnung.
> aber wie meinst du denn das ich das auf 2 art und weisen
> berechnen soll?
Genauso wie $f(0+0)$ nicht nur als $f(0)$, sondern mithilfe der Voraussetzung $f(x+y)=f(x)+f(y)$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] V$ auch als $f(0)+f(0)$ berechnet wurde: [mm] $f(\alpha a+(-\alpha)a)=f(\alpha a)+f((-\alpha)a)$. [/mm] Und weil [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] vorausgesetzt wurde und wir [mm] $f(\alpha a)=\alpha [/mm] f(a)$ für [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] schon gezeigt haben, folgt [mm] $f(\alpha a+(-\alpha)a)=\alpha f(a)+f((-\alpha)a)$. [/mm] Welche Gleichung erhalten wir insgesamt? Nach [mm] $f((-\alpha)a)$ [/mm] aufgelöst ergibt sich wie gewünscht?
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> Genauso wie [mm]f(0+0)[/mm] nicht nur als [mm]f(0)[/mm], sondern mithilfe
> der Voraussetzung [mm]f(x+y)=f(x)+f(y)[/mm] für alle [mm]x,y\in V[/mm] auch
> als [mm]f(0)+f(0)[/mm] berechnet wurde: [mm]f(\alpha a+(-\alpha)a)=f(\alpha a)+f((-\alpha)a)[/mm].
> Und weil [mm]\alpha\in\IN[/mm] vorausgesetzt wurde und wir [mm]f(\alpha a)=\alpha f(a)[/mm]
> für [mm]\alpha\in\IN[/mm] schon gezeigt haben, folgt [mm]f(\alpha a+(-\alpha)a)=\alpha f(a)+f((-\alpha)a)[/mm].
> Welche Gleichung erhalten wir insgesamt? Nach [mm]f((-\alpha)a)[/mm]
> aufgelöst ergibt sich wie gewünscht?
wie welche gleichung folgt insgesamt das is doch schon ne fertige gleichung
aufgelöst ist: f((- [mm] \alpha)a)= f((-\alpha)a)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> wie welche gleichung folgt insgesamt das is doch schon ne
> fertige gleichung
Das stimmt natürlich. Aber wir haben ja den Vektor [mm] $f(\alpha a+(-\alpha)a)$ [/mm] auf zwei Arten ausgerechnet: [mm] $f(\alpha a+(-\alpha)a)=0$ [/mm] und [mm] $f(\alpha a+(-\alpha)a)=\alpha f(a)+f(-\alpha [/mm] a)$. Insgesamt erhalten wir also die Gleichung [mm] $0=\alpha f(a)+f(-\alpha [/mm] a)$. Nach [mm] $f(-\alpha [/mm] a)$ aufgelöst ergibt sich? Ist das das, was wir haben wollten (beachte: wir haben [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] betrachtet)?
> aufgelöst ist: f((- [mm]\alpha)a)= f((-\alpha)a)[/mm]
??? Wie kommst du darauf? Jedenfalls ist das trivial und hilft uns nicht weiter.
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> > wie welche gleichung folgt insgesamt das is doch schon ne
> > fertige gleichung
> Das stimmt natürlich. Aber wir haben ja den Vektor
> [mm]f(\alpha a+(-\alpha)a)[/mm] auf zwei Arten ausgerechnet:
> [mm]f(\alpha a+(-\alpha)a)=0[/mm] und [mm]f(\alpha a+(-\alpha)a)=\alpha f(a)+f(-\alpha a)[/mm].
> Insgesamt erhalten wir also die Gleichung [mm]0=\alpha f(a)+f(-\alpha a)[/mm].
> Nach [mm]f(-\alpha a)[/mm] aufgelöst ergibt sich? Ist das das, was
> wir haben wollten (beachte: wir haben [mm]\alpha\in\IN[/mm]
> betrachtet)?
>
es ergibt sich f(- [mm] \alpha [/mm] a)= [mm] -\alpha [/mm] f(a)...
aber dann kann ich doch einfach beide seiten mal -1 nehmen und dann haben wir das geforderte oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> es ergibt sich f(- [mm]\alpha[/mm] a)= [mm]-\alpha[/mm] f(a)...
Genau!
> aber dann kann ich doch einfach beide seiten mal -1 nehmen
> und dann haben wir das geforderte oder nicht?
Nein. Das geforderte steht schon da: Du wolltest die geforderte Gleichheit für NEGATIVE ganze Zahlen zeigen und hast dir (zugegebenermaßen verwirrenderweise) trotzdem [mm] $\alpha\in\IN$ [/mm] betrachtet. Um die Verwirrung etwas zu lindern, schreibe ich lieber n statt [mm] $\alpha$. [/mm] Dann hast du $f((-n)a)=(-n)f(a)$ gezeigt. Das ist die gesuchte Gleichheit für die negative ganze Zahl $-n$.
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> > es ergibt sich f(- [mm]\alpha[/mm] a)= [mm]-\alpha[/mm] f(a)...
> Genau!
>
> > aber dann kann ich doch einfach beide seiten mal -1 nehmen
> > und dann haben wir das geforderte oder nicht?
> Nein. Das geforderte steht schon da: Du wolltest die
> geforderte Gleichheit für NEGATIVE ganze Zahlen zeigen und
> hast dir (zugegebenermaßen verwirrenderweise) trotzdem
> [mm]\alpha\in\IN[/mm] betrachtet. Um die Verwirrung etwas zu
> lindern, schreibe ich lieber n statt [mm]\alpha[/mm]. Dann hast du
> [mm]f((-n)a)=(-n)f(a)[/mm] gezeigt. Das ist die gesuchte Gleichheit
> für die negative ganze Zahl [mm]-n[/mm].
okay ja warum denn einfach wenn es auch verwirrend ist...
ist das denn jetzt der Beweis muss ich diese 4 "Teilbeweise" bringen und hab damit die aufgabe beantwortet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ist das denn jetzt der Beweis muss ich diese 4
> "Teilbeweise" bringen und hab damit die aufgabe
> beantwortet?
Wir haben jetzt [mm] $f(\alpha a)=\alpha [/mm] f(a)$ für beliebige [mm] $\alpha\in\IZ$ [/mm] und für [mm] $\alpha$ [/mm] von der Form [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$ [/mm] gesehen. Fehlt noch der Beweis für [mm] $\alpha\in\IQ$ [/mm] beliebig, also von der Form [mm] $\bruch{m}{n}$ [/mm] für eine ganze Zahl [mm] $m\in\IZ$ [/mm] und eine natürliche Zahl [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Dazu nutze [mm] $\alpha=m\cdot\bruch{1}{n}$ [/mm] und das, was wir bisher gezeigt haben, aus.
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> Wir haben jetzt [mm]f(\alpha a)=\alpha f(a)[/mm] für beliebige
> [mm]\alpha\in\IZ[/mm] und für [mm]\alpha[/mm] von der Form [mm]\bruch{1}{n}[/mm] für
> [mm]n\in\IN[/mm] gesehen. Fehlt noch der Beweis für [mm]\alpha\in\IQ[/mm]
> beliebig, also von der Form [mm]\bruch{m}{n}[/mm] für eine ganze
> Zahl [mm]m\in\IZ[/mm] und eine natürliche Zahl [mm]n\in\IN[/mm].
>
> Dazu nutze [mm]\alpha=m\cdot\bruch{1}{n}[/mm] und das, was wir
> bisher gezeigt haben, aus.
[mm] f(\alpha [/mm] a)= f(m [mm] \bruch{1}{n}(a))=f (\underbrace{a+...+a}_{=m \bruch{1}{n}})= \underbrace{f(a)+...+f(a)}_{=m \bruch{1}{n}}= [/mm] m [mm] \bruch{1}{n} [/mm] f(a)= [mm] \alpha [/mm] f(a)
hätte ich dies so gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]f(\alpha[/mm] a)= f(m [mm]\bruch{1}{n}(a))=f (\underbrace{a+...+a}_{=m \bruch{1}{n}})= \underbrace{f(a)+...+f(a)}_{=m \bruch{1}{n}}=[/mm]
> m [mm]\bruch{1}{n}[/mm] f(a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)
Das erste und das letzte Gleichheitszeichen stimmt, was dazwischen steht ergibt keinen Sinn: Wenn z.B. $m=5$ und $n=2$ ist, ist [mm] $m\bruch{1}{n}=\bruch{3}{2}=2,5$. [/mm] Und man kann ja schlecht einen Vektor 2,5 mal mit sich selbst addieren.
Beim Vektor [mm] $f(m(\bruch{1}{n}a))$ [/mm] kann man "das m aus dem f herausziehen", denn für ganze Zahlen $m$ haben wir $f(m b)=mf(b)$ für BELIEBIGE Vektoren [mm] $b\in [/mm] V$ schon gezeigt.
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> > [mm]f(\alpha[/mm] a)= f(m [mm]\bruch{1}{n}(a))=f (\underbrace{a+...+a}_{=m \bruch{1}{n}})= \underbrace{f(a)+...+f(a)}_{=m \bruch{1}{n}}=[/mm]
> > m [mm]\bruch{1}{n}[/mm] f(a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)
> Das erste und das letzte Gleichheitszeichen stimmt, was
> dazwischen steht ergibt keinen Sinn: Wenn z.B. [mm]m=5[/mm] und [mm]n=2[/mm]
> ist, ist [mm]m\bruch{1}{n}=\bruch{3}{2}=2,5[/mm]. Und man kann ja
> schlecht einen Vektor 2,5 mal mit sich selbst addieren.
>
> Beim Vektor [mm]f(m(\bruch{1}{n}a))[/mm] kann man "das m aus dem f
> herausziehen", denn für ganze Zahlen [mm]m[/mm] haben wir [mm]f(m b)=mf(b)[/mm]
> für BELIEBIGE Vektoren [mm]b\in V[/mm] schon gezeigt.
dann also:
[mm]f(\alpha[/mm] a)= f(m [mm]\bruch{1}{n}(a))= f(m( \bruch{1}{n}a))= f (\underbrace{\bruch{1}{n}a+...+\bruch{1}{n} a}_{=m})= \underbrace{f(\bruch{1}{n} a)+...+f(\bruch{1}{n}a)}_{=m}=[/mm]
m [mm][/mm] [mm] f(\bruch{1}{n} [/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)
aber wie bekomm ich jetzt das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] da noch raus??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]f(\alpha[/mm] a)= f(m [mm]\bruch{1}{n}(a))= f(m( \bruch{1}{n}a))= f (\underbrace{\bruch{1}{n}a+...+\bruch{1}{n} a}_{=m})= \underbrace{f(\bruch{1}{n} a)+...+f(\bruch{1}{n}a)}_{=m}=[/mm]
> m[mm][/mm] [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)
> aber wie bekomm ich jetzt das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] da noch raus??
Mit dem, was wir schon gezeigt haben: [mm] $f(\bruch{1}{n}a)=\bruch{1}{n}f(a)$ [/mm] für alle natürlichen Zahlen n und alle Vektoren [mm] $a\in [/mm] V$.
Da m eine ganze nicht notwendig natürliche Zahl ist, macht unter Umständen auch die Betrachtung von m Summanden keinen Sinn: Etwa für $m=-3$ würdest du Vektoren -3 mal mit sich selbst addieren!
Versuche das zu verwenden, was wir schon gezeigt haben und nicht von Grund auf neu anzufangen. Vielleicht kannst du mal zusammenfassen, was wir bisher gezeigt haben?
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> > [mm]f(\alpha[/mm] a)= f(m [mm]\bruch{1}{n}(a))= f(m( \bruch{1}{n}a))= f (\underbrace{\bruch{1}{n}a+...+\bruch{1}{n} a}_{=m})= \underbrace{f(\bruch{1}{n} a)+...+f(\bruch{1}{n}a)}_{=m}=[/mm]
> > m[mm][/mm] [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a)= [mm]\alpha[/mm] f(a)
> > aber wie bekomm ich jetzt das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] da noch
> raus??
> Mit dem, was wir schon gezeigt haben:
> [mm]f(\bruch{1}{n}a)=\bruch{1}{n}f(a)[/mm] für alle natürlichen
> Zahlen n und alle Vektoren [mm]a\in V[/mm].
>
> Da m eine ganze nicht notwendig natürliche Zahl ist, macht
> unter Umständen auch die Betrachtung von m Summanden
> keinen Sinn: Etwa für [mm]m=-3[/mm] würdest du Vektoren -3 mal mit
> sich selbst addieren!
>
> Versuche das zu verwenden, was wir schon gezeigt haben und
> nicht von Grund auf neu anzufangen. Vielleicht kannst du
> mal zusammenfassen, was wir bisher gezeigt haben?
Wir haben gezeigt, dass [mm] f(\alpha x)=\alpha [/mm] f(x) für [mm] \alpha [/mm] =0 [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} \in \IN
[/mm]
außerdem haben wir gezeigt, dass für negativge Zahlrn [mm] f(-\alpha [/mm] x) = - [mm] \alpha [/mm] f(x)
man sieht ja das das zusammenfassend das geforderte ergibt aber wie bringe ich das jetzt zusammen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Wir haben also gezeigt:
1. $f(mb)=mf(b)$ für alle [mm] $m\in\IZ$ [/mm] und alle Vektoren [mm] $b\in [/mm] V$
2. [mm] $f(\bruch{1}{n}a)=\bruch{1}{n}f(a)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und alle Vektoren [mm] $a\in [/mm] V$.
> man sieht ja das das zusammenfassend das geforderte ergibt
> aber wie bringe ich das jetzt zusammen?
Für [mm] $\alpha=\bruch{m}{n}$ [/mm] mit [mm] $m\in\IZ$, $n\in\IN$ [/mm] und beliebige Vektoren [mm] $a\in [/mm] V$ gilt [mm] $f(\alpha a)=f((m\bruch{1}{n})a)=f(m(\bruch{1}{n}a))=\ldots$. [/mm] Wende nun zunächst 1. und dann 2. an.
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> Wir haben also gezeigt:
> 1. [mm]f(mb)=mf(b)[/mm] für alle [mm]m\in\IZ[/mm] und alle Vektoren [mm]b\in V[/mm]
>
> 2. [mm]f(\bruch{1}{n}a)=\bruch{1}{n}f(a)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und
> alle Vektoren [mm]a\in V[/mm].
>
> > man sieht ja das das zusammenfassend das geforderte ergibt
> > aber wie bringe ich das jetzt zusammen?
> Für [mm]\alpha=\bruch{m}{n}[/mm] mit [mm]m\in\IZ[/mm], [mm]n\in\IN[/mm] und beliebige
>
Vektoren [mm]a\in V[/mm] gilt [mm] f(\alpha a)=f((m\bruch{1}{n})a)=f(m(\bruch{1}{n}a))= [/mm] m [mm] f(\bruch{1}{n} [/mm] a)= m [mm] \bruch{1}{n} [/mm] f(a)= [mm] \alpha [/mm] f(a)
> Wende nun zunächst 1. und dann 2. an.
geht´das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Genau!
Einmal tief durchatmen, wir sind einmal durch!
Bist du wieder an einem kompletten Lösungsvorschlag von mir interessiert?
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Das wäre sehr nett...dann habe ich nen Vergleich wie ich es amchen würde und wie es aussehen kann..also wenn, dass ein nicht zu großer Aufwand für dich ist würde ich mich sehr freuen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Do 14.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über \IQ und f: V \to V eine Abbildung mit f(x+y) = f(x)+f(y) für alle x,y \in V. Zeigen Sie, dass f \IQ-linear ist. |
Zu zeigen ist nur $f(\alpha a)=\alpha f(a)$ für alle $\alpha\in\IQ$ und alle $a\in V$.
Wir zeigen dies nacheinander für
0. $\alpha=0$
1. $\alpha=n$ für ein $n\in\IN\setminus\{0\}$
2. $\alpha=-n$ für ein $n\in\IN\setminus\{0\}$
3. $\alpha=1/n$ für ein $n\in\IN\setminus\{0\}$
4. $\alpha\in\IQ$ beliebig.
Zu 0.: Es gilt $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, also $f(0)=0$ und somit $f(0a)=f(0)=0=0f(a)$.
Zu 1.: Variante a):
Zunächst bemerken wir, dass aus $f(x+y) = f(x)+f(y)$ für alle $x,y \in V$ induktiv folgt, dass $f(a_1+\ldots+a_n)=f(a_1)+\ldots+f(a_n)$ für alle $n\in\IN\setminus\{0\}$ und alle Vektoren $a_1,\ldots,a_n\in V$ gilt.
Damit sehen wir $f(na)=f(\underbrace{a+\ldots+a}_n)=\underbrace{f(a)+\ldots f(a)}_n}=nf(a)$.
Variante b):
Induktion nach n: Für n=1 gilt $f(na)=f(a)=nf(a)$. Gelte nun $f(na)=nf(a)$ für ein $n\in\IN$. Dann folgt $f((n+1)a)=f(na+1a)=f(na)+f(1a)=nf(a)+1f(a)=(n+1)f(a)$.
Zu 2.: Es gilt $0=f(0)=f(-na+na)=f(-na)+f(na)=f(-na)+nf(a)$, wobei die letzte Gleichheit aus 1. folgt. Also $f(-na)=-nf(a)$.
Zu 3.: Aus 1. folgt $f(a)=f(n\bruch{1}{n}a)=nf(\bruch{1}{n}a)$, also $f(\bruch{1}{n}a)=\bruch{1}{n}f(a)$.
Zu 4.: Wir bemerken zunächst, dass aus 0. bis 2. die Gültigkeit von $f(\alpha a)=\alpha f(a)$ für alle $a\in V$ für alle $\alpha\in\IZ$ folgt. Wegen $\alpha\in\IQ$ hat $\alpha$ die Gestalt $\alpha=\bruch{m}{n}$ für eine ganze Zahl $m\in\IZ$ und eine natürliche Zahl $n\in\IN\setminus\{0\}$. Mit der Bemerkung zu Beginn von 4. und mit 3. folgt $f(\alpha a)=f(m\bruch{1}{n}a)=mf(\bruch{1}{n}a)=m\bruch{1}{n}f(a)=\alpha f(a)$.
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Toll so ähnlich hatte ich es jetzt auch bloß bisschen mehr Text mein Tutor sagt ich schreib einfach zu viel von daher ist das toll zu sehen wie kurz das doch geht danke:)...
so dann werd ich mich mal an die nächste Aufgabe machen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie zeige ich dies nun für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit
> n [mm]\in \IN[/mm] ??
Betrachte [mm] $f(\underbrace{\bruch{1}{n}a+\ldots+\bruch{1}{n}a}_{n Summanden})$ [/mm] und rechne diesen Vektor auf zwei Arten aus.
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> > Und wie zeige ich dies nun für [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit
> > n [mm]\in \IN[/mm] ??
> Betrachte
> [mm]f(\underbrace{\bruch{1}{n}a+\ldots+\bruch{1}{n}a}_{n Summanden})[/mm]
> und rechne diesen Vektor auf zwei Arten aus.
ist das nicht genauso wie in den anderen beweisen?
[mm] f(\alpha [/mm] a) = [mm] f(n(\bruch{1}{n} [/mm] a) = f [mm] (\underbrace{\bruch{1}{n} a+...+bruch{1}{n} a}_{=n})= f(\bruch{1}{n} [/mm] a) +...+ [mm] f(\bruch{1}{n} [/mm] a) = n [mm] f(\bruch{1}{n} [/mm] a) = [mm] \alpha [/mm] f(a)
so geht das doch nicht das wär zu simpel oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> ist das nicht genauso wie in den anderen beweisen?
Ja, zumindest sehr ähnlich.
> [mm]f(\alpha[/mm] a) = [mm]f(n(\bruch{1}{n}[/mm] a) = f [mm](\underbrace{\bruch{1}{n} a+...+bruch{1}{n} a}_{=n})= f(\bruch{1}{n}[/mm] a) +...+ [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a) = n [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a) = [mm]\alpha[/mm] f(a)
Der ersten Gleichheit entnehme ich, dass du anscheinend [mm] $\alpha=1$ [/mm] betrachtest? Die letzte Gleichheit erscheint mir unbegründet. Aber nehmen wir uns mal alles dazwischen heraus: Du hast also [mm] $f(n\bruch{1}{n}a)=nf(\bruch{1}{n}a)$ [/mm] gezeigt. (Dies folgt, wenn du meinen etwas zu umständlichen Hinweis (sorry) ignorierst, alternativ auch sofort aus dem schon gezeigten Fall [mm] $\alpha=n$ [/mm] mit dem Vektor [mm] $\bruch{1}{n}a$ [/mm] anstelle von $a$.) Die linke Seite der gezeigten Gleichheit ist nichts anderes als $f(a)$! Also steht da [mm] $f(a)=nf(\bruch{1}{n}a)$. [/mm] Wie kannst du daraus [mm] $\bruch{1}{n}f(a)=f(\bruch{1}{n}a)$ [/mm] folgern?
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> > ist das nicht genauso wie in den anderen beweisen?
> Ja, zumindest sehr ähnlich.
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> > [mm]f(\alpha[/mm] a) = [mm]f(n(\bruch{1}{n}[/mm] a) = f
> [mm](\underbrace{\bruch{1}{n} a+...+bruch{1}{n} a}_{=n})= f(\bruch{1}{n}[/mm]
> a) +...+ [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a) = n [mm]f(\bruch{1}{n}[/mm] a) = [mm]\alpha[/mm]
> f(a)
> Der ersten Gleichheit entnehme ich, dass du anscheinend
> [mm]\alpha=1[/mm] betrachtest? Die letzte Gleichheit erscheint mir
> unbegründet. Aber nehmen wir uns mal alles dazwischen
> heraus: Du hast also [mm]f(n\bruch{1}{n}a)=nf(\bruch{1}{n}a)[/mm]
> gezeigt. (Dies folgt, wenn du meinen etwas zu
> umständlichen Hinweis (sorry) ignorierst, alternativ auch
> sofort aus dem schon gezeigten Fall [mm]\alpha=n[/mm] mit dem Vektor
> [mm]\bruch{1}{n}a[/mm] anstelle von [mm]a[/mm].) Die linke Seite der
> gezeigten Gleichheit ist nichts anderes als [mm]f(a)[/mm]! Also
> steht da [mm]f(a)=nf(\bruch{1}{n}a)[/mm]. Wie kannst du daraus
> [mm]\bruch{1}{n}f(a)=f(\bruch{1}{n}a)[/mm] folgern?
naja in dem ich das n von der rechten Seite auf die linke bringe und dadurch entsteht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] das sagt mir zumindestens mein logischer verstand oder muss ich das auch noch beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mi 13.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Also steht da [mm]f(a)=nf(\bruch{1}{n}a)[/mm]. Wie kannst du daraus
> > [mm]\bruch{1}{n}f(a)=f(\bruch{1}{n}a)[/mm] folgern?
> naja in dem ich das n von der rechten Seite auf die linke
> bringe und dadurch entsteht [mm]\bruch{1}{n}[/mm] das sagt mir
> zumindestens mein logischer verstand oder muss ich das auch
> noch beweisen?
Stimmt. (Dumme Frage eigentlich von mir....) Das ergibt sich direkt durch Multiplikation mit [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] auf beiden Seiten.
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keine dumme Frage..so weiß ich wenigstens das ich noch einfache Mathematik beherrsche^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
2) geht übrigens auch ohne Induktion.
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wie denn das?..in welche Richtung muss ich denn denken?..is eigentlich 3. auch wieder ne Induktion?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Di 12.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> wie denn das?..in welche Richtung muss ich denn denken?
Betrachte mal für [mm] $\alpha\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $\alpha<0$ [/mm] den Vektor [mm] $f(\alpha\cdot a+(-\alpha)\cdot [/mm] a)$ und berechne ihn auf zwei Arten.
> ..is eigentlich 3. auch wieder ne Induktion?
Nein.
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