lineare Abbildungen modulo < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Fr 13.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Wir betrachten eine lineare Abbildung [mm] f_A: K^3 \to K^3, [/mm] K:= [mm] \IF_7.
[/mm]
Berechne [mm] Ker(f_A), f^{-1} (\{v\} [/mm] und [mm] f^{-1} [/mm] (<v>) zu den Daten:
A:= [mm] \pmat{ 1´ & 1´ & 1´ \\ -2´ & -1´ & -1´ \\ 2´ & -1´ & 6´ }, v:=\vektor{1´ \\ 1´ \\ 7´}
[/mm]
(für k [mm] \in \IZ [/mm] bezeichnen die k [mm] \in \IF_7 [/mm] die Restklasse modulo 7) |
[mm] Ker(f_A) [/mm] = A * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = 0
Folglich kann ich ja dann einen Gaußalgorithmus machen, um x,y,z zu bestimmen aber wie mache ich den mit modulo?
[mm] f^{-1} (\{v\} [/mm] ist doch der Gegenvektor von [mm] \vektor{1´ \\ 1´ \\ 7´}? [/mm] Wäre das dann nicht [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -7}?
[/mm]
Wie man [mm] f^{-1} [/mm] (<v>) bestimmt, weiß ich nicht. Vllt kann mir jemand einen Hinweis geben?
|
|
| |
|
Es soll wohl [mm]f = f_A[/mm] sein. Wie kommst du bei [mm]f^{-1}(\{ v \})[/mm] auf "Gegenvektor". Nein, damit ist einfach das Urbild von [mm]\{ v \}[/mm] unter [mm]f[/mm] gemeint, also alle Vektoren [mm]x \in K^3[/mm] mit
[mm]A \cdot x = v[/mm]
Du mußt somit ein lineares Gleichungssystem lösen. Wenn du den Kern [mm]U[/mm] von [mm]f[/mm] schon bestimmt hast, würde es genügen, eine Lösung [mm]x_0[/mm] zu erraten. Denn bekanntermaßen sind dann [mm]x_0 + U[/mm] alle Lösungen.
Und bei [mm]f^{-1}(\langle v \rangle)[/mm] ist das Urbild des von [mm]v[/mm] erzeugten eindimensionalen Unterraums gesucht. Du kannst dir ja einmal überlegen, wie du den sofort aus [mm]x_0 + U[/mm] erhältst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 14.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ok. Aber wie mache ich das mit modulo?
|
|
|
| |
|
Nach der vorgegebenen Konvention stehen die ganzen Zahlen [mm]k[/mm] hier für ihre Restklassen modulo 7. Das dient zur Schreibvereinfachung, um nicht immer [mm]\overline{k}[/mm] oder ähnlich schreiben zu müssen.
Für das konkrete Rechnen kannst du so tun, als wären die Matrixelemente ganze Zahlen. Du mußt dir nur klar machen, daß
[mm]\ldots = -14 = -7 = 0 = 7 = 14 = \ldots[/mm]
[mm]\ldots = -13 = -6 = 1 = 8 = 15 = \ldots[/mm]
[mm]\ldots = -12 = -5 = 2 = 9 = 16 = \ldots[/mm]
und so weiter gilt. Die multiplikativen Inversen kannst du an den folgenden Gleichungen ablesen:
[mm]1 \cdot 1 = 1 \, , \ 2 \cdot 4 = 1 \, , \ 3 \cdot 5 = 1 \, , \ 6 \cdot 6 = 1[/mm]
Um zum Beispiel die dritte Beziehung zu sehen, rechnest du ganz normal [mm]3 \cdot 5 = 15 = 1[/mm] (siehe die Liste oben).
Zur Lösung der Gleichung
[mm]A \cdot x = v[/mm]
addierst du das 2-fache der ersten Zeile zur zweiten und das (-2)-fache der ersten Zeile zur dritten. Du erhältst
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
Und jetzt das 3-fache der zweiten Zeile zur dritten addieren. Beachte [mm]14=7=0[/mm]. Führe das jetzt alleine zu Ende.
|
|
|
|
