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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Dimension von der linearen Hülle folgender Zeilenvektoren im [mm] ZK^4:
[/mm]
[mm] v_1= [/mm] (1, -3, 7, -1), [mm] v_2=(2, [/mm] 0, -4, 3), [mm] v_3=(2, [/mm] 6, -22, 8), [mm] v_4=(3, [/mm] 3, -15, 7) |
Hallo.
Also zuerst habe ich den Gauß-Algorithmus angewendet, um zu gucken, ob eine Nullzeile entsteht. Insgesamt entstand eine Nullzeile, das heißt also, das ein Vektor durch die restlichen drei dargestellt werden kann. Desweiteren heißt das für die Dimension, dass diese 3 ist.
Wie verfahre ich nun weiter? Ich muss gucken, welcher der 4 Vektoren aus den anderen darstellbar ist oder?
Und wenn ich diesen gefunden habe, kann ich die lineare Hülle hinschreiben?
Sagen wir, [mm] v_4 [/mm] ist dieser aus den anderen darstellbare Vektor. Sieht die lineare Hülle dann so aus?
L [mm] (v_1, v_2, v_3)
[/mm]
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Dimension von der linearen Hülle
> folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
>
> [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm] 6, -22, 8),
> [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
> Hallo.
>
> Also zuerst habe ich den Gauß-Algorithmus angewendet, um
> zu gucken, ob eine Nullzeile entsteht. Insgesamt entstand
> eine Nullzeile, das heißt also, das ein Vektor durch die
> restlichen drei dargestellt werden kann. Desweiteren heißt
> das für die Dimension, dass diese 3 ist.
Rechne das nochmal gründlich nach. Ich bekomme zwei Nullzeilen!
> Wie verfahre ich nun weiter? Ich muss gucken, welcher der 4
> Vektoren aus den anderen darstellbar ist oder?
>
Eine Basis brauchst halt. 
> Und wenn ich diesen gefunden habe, kann ich die lineare
> Hülle hinschreiben?
>
>
> Sagen wir, [mm]v_4[/mm] ist dieser aus den anderen darstellbare
> Vektor. Sieht die lineare Hülle dann so aus?
>
> L [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm]
Nein, sondern so:
[mm] Span(A)=r*\vec{v_1}+s*\vec{v_2}
[/mm]
Wobei die Bezeichnung auf der linken Seite unterschiedlich gehandhabt wird. Mag sein, dass du da auch einfach ein 'L' schreiben kannst. Bei Span(A) habe ich jetzt einvach mal den vier vorgegebenen Vektoren als Menge den Namen A gegeben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen Hülle
> > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> >
> > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm] 6, -22,
> 8),
> > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
> > Hallo.
> >
> > Also zuerst habe ich den Gauß-Algorithmus angewendet,
> um
> > zu gucken, ob eine Nullzeile entsteht. Insgesamt
> entstand
> > eine Nullzeile, das heißt also, das ein Vektor durch
> die
> > restlichen drei dargestellt werden kann. Desweiteren
> heißt
> > das für die Dimension, dass diese 3 ist.
>
> Rechne das nochmal gründlich nach. Ich bekomme zwei
> Nullzeilen!
Oh ja, da habe ich mich tatsächlich verrechnet. Bei mir kommen jetzt auch 2 Nullzeilen raus.
>
> > Wie verfahre ich nun weiter? Ich muss gucken, welcher der
> 4
> > Vektoren aus den anderen darstellbar ist oder?
> >
>
> Eine Basis brauchst halt.
Okay. Also ich hab die Matrix ja zur Zeilenstufenform gebracht: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wenn ich diese dann auf normierte Zeilenstufenform bringe, kann ich ja den Kern auslesen und aus diesem dann die Basis.
NZSF = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dann ist kern(A)= [mm] \vektor{x_4 + 2x_3 \\ -2x_4 - 2x_3 \\ x_3 \\ x_4}
[/mm]
Und daraus folgt span(A) = [mm] (\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
>
> > Und wenn ich diesen gefunden habe, kann ich die lineare
> > Hülle hinschreiben?
> >
> >
> > Sagen wir, [mm]v_4[/mm] ist dieser aus den anderen darstellbare
> > Vektor. Sieht die lineare Hülle dann so aus?
> >
> > L [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm]
>
> Nein, sondern so:
>
> [mm]Span(A)=r*\vec{v_1}+s*\vec{v_2}[/mm]
>
> Wobei die Bezeichnung auf der linken Seite unterschiedlich
> gehandhabt wird. Mag sein, dass du da auch einfach ein 'L'
> schreiben kannst. Bei Span(A) habe ich jetzt einvach mal
> den vier vorgegebenen Vektoren als Menge den Namen A
> gegeben.
>
>
> Gruß, Diophant
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> > Hallo,
> >
> > > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen Hülle
> > > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> > >
> > > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm] 6,
> -22,
> > 8),
> > > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
>
> Okay. Also ich hab die Matrix
Hallo,
welche Matrix denn eigentlich?
Das müßte man schon wissen.
Wenn Du bloß eine Basis des von diesen Zeilenvektoren aufgespannten Raumes suchst, ist es am einfachsten, die Zeilen als Zeilen in eine Matrix zu stecken, diese auf ZSF zu bringen.
Die Nichtnullzeilen, die man am Ende bekommt, sind eine Basis des von den Vektoren aufgespannten Raumes.
Okay, ich ahne daß Du folgendes gemacht hast:
Du hast die Zeilen als Spalten in eine Matrix A gesteckt und dann
> ja zur Zeilenstufenform
> gebracht: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Richtig.
Das kann man auch tun, man muß dann bloß richtig weitermachen.
Hier siehst Du: Rang der Matrix =2, also hat der von den Spalten der Startmatrix aufgespannte Raum die Dimension 2.
>
> Wenn ich diese dann auf normierte Zeilenstufenform bringe,
> kann ich ja den Kern auslesen und aus diesem dann die
> Basis.
>
> NZSF = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Ja.
>
> Dann ist kern(A)= [mm] \red{\{}\vektor{x_4 + 2x_3 \\ -2x_4 - 2x_3 \\ x_3 \\ x_4}\red{| x_3, x_4\in \IR\}}.
[/mm]
>
> Und daraus folgt span(A) = [mm] \red{LH}[/mm] [mm](\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0})[/mm]
Nein.
Daraus folgt Kern(A) [mm] =LH(\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\red{2} \\ -2 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
Was Du mit span A meinst, ist mir gerade gar nicht klar.
Falls Du [mm] span(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] suchst:
Das kann ja schon deshalb nicht die angegebene Menge sein, weil Du es in Deiner Aufgabe doch mit Zeilenvektoren zu tun hast.
Man kann ablesen:
in der ZSF stehen die führenden Elemente der Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte.
Also bilden die 1. und 2. Spalte der (Start)Matrix A eine Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes. (=eine Basis des Bildes von A).
Transponierst Du diese Spalten wieder zu Zeilen, so hast Du eine Basis von
[mm] span(v_1, v_2, v_3, v_4)= (LH(v_1, v_2, v_3, v_4))
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > > Hallo,
> > >
> > > > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen Hülle
> > > > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> > > >
> > > > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm] 6,
> > -22,
> > > 8),
> > > > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
>
> >
> > Okay. Also ich hab die Matrix
>
> Hallo,
>
> welche Matrix denn eigentlich?
> Das müßte man schon wissen.
Achso, meine die Matrix, die sich aus [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_4 [/mm] ergibt.
>
> Wenn Du bloß eine Basis des von diesen Zeilenvektoren
> aufgespannten Raumes suchst, ist es am einfachsten, die
> Zeilen als Zeilen in eine Matrix zu stecken, diese auf ZSF
> zu bringen.
> Die Nichtnullzeilen, die man am Ende bekommt, sind eine
> Basis des von den Vektoren aufgespannten Raumes.
>
>
> Okay, ich ahne daß Du folgendes gemacht hast:
> Du hast die Zeilen als Spalten in eine Matrix A gesteckt
> und dann
>
> > ja zur Zeilenstufenform
> > gebracht: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Richtig.
> Das kann man auch tun, man muß dann bloß richtig
> weitermachen.
>
> Hier siehst Du: Rang der Matrix =2, also hat der von den
> Spalten der Startmatrix aufgespannte Raum die Dimension 2.
>
>
> >
> > Wenn ich diese dann auf normierte Zeilenstufenform
> bringe,
> > kann ich ja den Kern auslesen und aus diesem dann die
> > Basis.
> >
> > NZSF = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> Ja.
> >
> > Dann ist kern(A)= [mm]\red{\{}\vektor{x_4 + 2x_3 \\ -2x_4 - 2x_3 \\ x_3 \\ x_4}\red{| x_3, x_4\in \IR\}}.[/mm]
>
> >
> > Und daraus folgt span(A) = [mm]\red{LH}[/mm] [mm](\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ -2 \\ 1 \\ 0})[/mm]
>
> Nein.
> Daraus folgt Kern(A) [mm]=LH(\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\red{2} \\ -2 \\ 1 \\ 0})[/mm]
Ja, eigene Dummheit. Da habe ich die 2 als 1 geschrieben.
> Was Du mit span A meinst, ist mir gerade gar nicht klar.
Span wurde bei Wikipedia erwähnt. So kann man die Lineare Hülle auch nennen.
> Falls Du [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm] suchst:
>
> Das kann ja schon deshalb nicht die angegebene Menge sein,
> weil Du es in Deiner Aufgabe doch mit Zeilenvektoren zu tun
> hast.
>
> Man kann ablesen:
> in der ZSF stehen die führenden Elemente der
> Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte.
> Also bilden die 1. und 2. Spalte der (Start)Matrix A eine
> Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes. (=eine
> Basis des Bildes von A).
>
> Transponierst Du diese Spalten wieder zu Zeilen, so hast Du
> eine Basis von
>
> [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)= (LH(v_1, v_2, v_3, v_4))[/mm]
Hier hab ich ja ganz übersehen, dass da Zeilenvektoren stehen. Ich bin von ganz normalen Vektoren ausgegangen.
Also bilden dann die Zeilenvektoren [mm] v_1= [/mm] (1, -3, 7, -1) und [mm] v_2=(2, [/mm] 0, -4, 3) eine Basis.
Wie sieht das aus, wenn ich das in [mm] span(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] eintragen will?
So? span( (1, -3, 7, -1), (2, 0, -4, 3) ) = LH ( (1, -3, 7, -1), (2, 0, -4, 3) )
> LG Angela
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen
> Hülle
> > > > > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm]
> 6,
> > > -22,
> > > > 8),
> > > > > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
> >
> > >
> > > Okay. Also ich hab die Matrix
> >
> > Hallo,
> >
> > welche Matrix denn eigentlich?
> > Das müßte man schon wissen.
>
> Achso, meine die Matrix, die sich aus [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_4[/mm] ergibt.
Hallo,
ja, so weit war ich ja auch.
Aber Du müßtest sagen, ob Du die Vektoren als Zeilen oder Spalten einstellst.
Es ergeben sich doch zwei verschiedene Matrizen.
(Beide sind nützlich - wenn man sie richtig behandelt.)
>
> >
> > Wenn Du bloß eine Basis des von diesen Zeilenvektoren
> > aufgespannten Raumes suchst, ist es am einfachsten, die
> > Zeilen als Zeilen in eine Matrix zu stecken, diese auf ZSF
> > zu bringen.
> > Die Nichtnullzeilen, die man am Ende bekommt, sind eine
> > Basis des von den Vektoren aufgespannten Raumes.
> >
> >
> > Okay, ich ahne daß Du folgendes gemacht hast:
> > Du hast die Zeilen als Spalten in eine Matrix A
> gesteckt
> > und dann
> >
> > > ja zur Zeilenstufenform
> > > gebracht: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Richtig.
> > Das kann man auch tun, man muß dann bloß richtig
> > weitermachen.
> >
> > Hier siehst Du: Rang der Matrix =2, also hat der von den
> > Spalten der Startmatrix aufgespannte Raum die Dimension 2.
> >
> >
> > >
> > > Wenn ich diese dann auf normierte Zeilenstufenform
> > bringe,
> > > kann ich ja den Kern auslesen und aus diesem dann
> die
> > > Basis.
> > >
> > > NZSF = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> >
> > Ja.
> > >
> > > Dann ist kern(A)= [mm]\red{\{}\vektor{x_4 + 2x_3 \\ -2x_4 - 2x_3 \\ x_3 \\ x_4}\red{| x_3, x_4\in \IR\}}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und daraus folgt span(A) = [mm]\red{LH}[/mm] [mm](%5Cvektor%7B1%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%200%20%5C%5C%201%7D%2C%20%5Cvektor%7B1%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%201%20%5C%5C%200%7D)[/mm]
>
> >
> > Nein.
> > Daraus folgt Kern(A) [mm]=LH(\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\red{2} \\ -2 \\ 1 \\ 0})[/mm]
>
> Ja, eigene Dummheit. Da habe ich die 2 als 1 geschrieben.
Naja, das hat mit "dumm" nichts zu tun.
>
>
> > Was Du mit span A meinst, ist mir gerade gar nicht klar.
>
>
> Span wurde bei Wikipedia erwähnt. So kann man die Lineare
> Hülle auch nennen.
Ja, das weiß ich natürlich.
Aber bei wikipedia stand bestimmt nicht, daß man den span einer Matrix ausrechnen kann.
Sondern den Span von Vektoren. Etwa von den Vektoren, die als Spalten in einer Matrix stecken.
Aber span(A) darf man da nicht schreiben.
>
>
> > Falls Du [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm] suchst:
> >
> > Das kann ja schon deshalb nicht die angegebene Menge sein,
> > weil Du es in Deiner Aufgabe doch mit Zeilenvektoren zu tun
> > hast.
> >
> > Man kann ablesen:
> > in der ZSF stehen die führenden Elemente der
> > Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte.
> > Also bilden die 1. und 2. Spalte der (Start)Matrix A
> eine
> > Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes. (=eine
> > Basis des Bildes von A).
> >
> > Transponierst Du diese Spalten wieder zu Zeilen, so hast Du
> > eine Basis von
> >
> > [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)= (LH(v_1, v_2, v_3, v_4))[/mm]
>
> Hier hab ich ja ganz übersehen, dass da Zeilenvektoren
> stehen. Ich bin von ganz normalen Vektoren ausgegangen.
>
> Also bilden dann die Zeilenvektoren [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1) und
> [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3) eine Basis.
Genau. Eine (!) Basis.
Es gibt noch viele andere Basen dieses Raumes.
Alle enthalten 2 Elemente.
>
> Wie sieht das aus, wenn ich das in [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm]
> eintragen will?
>
> So? span( (1, -3, 7, -1), (2, 0, -4, 3) ) = LH ( (1, -3, 7,
> -1), (2, 0, -4, 3) )
Ich würde mich jetztmal entscheiden, ob Du LH oder span schreiben willst. Ist ja beides dasselbe.
Ich würde nicht mixen.
Was Du schreibst stimmt.
Wenn nach der Basis gefragt ist, würde ich noch erwähnen, daß die beiden Vektoren eine Basis des spans der 4 vektoren sind.
(Schau Dir aber noch an, wie Du eine Basis bekommst mit der Matrix, die die Zeilenvektoren als Zeilen enthält.)
LG Angela
>
> > LG Angela
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen
> > Hülle
> > > > > > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3), [mm]v_3=(2,[/mm]
> > 6,
> > > > -22,
> > > > > 8),
> > > > > > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
> > >
> > > >
> > > > Okay. Also ich hab die Matrix
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > welche Matrix denn eigentlich?
> > > Das müßte man schon wissen.
> >
> > Achso, meine die Matrix, die sich aus [mm]v_1[/mm] bis [mm]v_4[/mm]
> ergibt.
>
> Hallo,
>
> ja, so weit war ich ja auch.
> Aber Du müßtest sagen, ob Du die Vektoren als Zeilen
> oder Spalten einstellst.
> Es ergeben sich doch zwei verschiedene Matrizen.
> (Beide sind nützlich - wenn man sie richtig behandelt.)
>
> >
> > >
> > > Wenn Du bloß eine Basis des von diesen
> Zeilenvektoren
> > > aufgespannten Raumes suchst, ist es am einfachsten,
> die
> > > Zeilen als Zeilen in eine Matrix zu stecken, diese auf
> ZSF
> > > zu bringen.
> > > Die Nichtnullzeilen, die man am Ende bekommt, sind
> eine
> > > Basis des von den Vektoren aufgespannten Raumes.
> > >
> > >
> > > Okay, ich ahne daß Du folgendes gemacht hast:
> > > Du hast die Zeilen als Spalten in eine Matrix A
> > gesteckt
> > > und dann
> > >
> > > > ja zur Zeilenstufenform
> > > > gebracht: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Richtig.
> > > Das kann man auch tun, man muß dann bloß richtig
> > > weitermachen.
> > >
> > > Hier siehst Du: Rang der Matrix =2, also hat der von
> den
> > > Spalten der Startmatrix aufgespannte Raum die
> Dimension 2.
> > >
> > >
> > > >
> > > > Wenn ich diese dann auf normierte Zeilenstufenform
> > > bringe,
> > > > kann ich ja den Kern auslesen und aus diesem dann
> > die
> > > > Basis.
> > > >
> > > > NZSF = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Ja.
> > > >
> > > > Dann ist kern(A)= [mm]\red{\{}\vektor{x_4 + 2x_3 \\ -2x_4 - 2x_3 \\ x_3 \\ x_4}\red{| x_3, x_4\in \IR\}}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und daraus folgt span(A) = [mm]\red{LH}[/mm]
> [mm](%5Cvektor%7B1%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%200%20%5C%5C%201%7D%2C%20%5Cvektor%7B1%20%5C%5C%20-2%20%5C%5C%201%20%5C%5C%200%7D)[/mm]
> >
> > >
> > > Nein.
> > > Daraus folgt Kern(A) [mm]=LH(\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{\red{2} \\ -2 \\ 1 \\ 0})[/mm]
>
> >
> > Ja, eigene Dummheit. Da habe ich die 2 als 1
> geschrieben.
>
> Naja, das hat mit "dumm" nichts zu tun.
>
> >
> >
> > > Was Du mit span A meinst, ist mir gerade gar nicht
> klar.
> >
> >
> > Span wurde bei Wikipedia erwähnt. So kann man die
> Lineare
> > Hülle auch nennen.
>
> Ja, das weiß ich natürlich.
> Aber bei wikipedia stand bestimmt nicht, daß man den span
> einer Matrix ausrechnen kann.
> Sondern den Span von Vektoren. Etwa von den Vektoren, die
> als Spalten in einer Matrix stecken.
> Aber span(A) darf man da nicht schreiben.
> >
> >
> > > Falls Du [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm] suchst:
> > >
> > > Das kann ja schon deshalb nicht die angegebene Menge
> sein,
> > > weil Du es in Deiner Aufgabe doch mit Zeilenvektoren
> zu tun
> > > hast.
> > >
> > > Man kann ablesen:
> > > in der ZSF stehen die führenden Elemente der
> > > Nichtnullzeilen in der 1. und 2. Spalte.
> > > Also bilden die 1. und 2. Spalte der (Start)Matrix A
> > eine
> > > Basis des von den Spalten aufgespannten Raumes.
> (=eine
> > > Basis des Bildes von A).
> > >
> > > Transponierst Du diese Spalten wieder zu Zeilen, so
> hast Du
> > > eine Basis von
> > >
> > > [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)= (LH(v_1, v_2, v_3, v_4))[/mm]
> >
> > Hier hab ich ja ganz übersehen, dass da Zeilenvektoren
> > stehen. Ich bin von ganz normalen Vektoren ausgegangen.
> >
> > Also bilden dann die Zeilenvektoren [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1)
> und
> > [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3) eine Basis.
>
> Genau. Eine (!) Basis.
> Es gibt noch viele andere Basen dieses Raumes.
> Alle enthalten 2 Elemente.
>
> >
> > Wie sieht das aus, wenn ich das in [mm]span(v_1, v_2, v_3, v_4)[/mm]
>
> > eintragen will?
> >
> > So? span( (1, -3, 7, -1), (2, 0, -4, 3) ) = LH ( (1, -3,
> 7,
> > -1), (2, 0, -4, 3) )
>
> Ich würde mich jetztmal entscheiden, ob Du LH oder span
> schreiben willst. Ist ja beides dasselbe.
> Ich würde nicht mixen.
>
> Was Du schreibst stimmt.
> Wenn nach der Basis gefragt ist, würde ich noch
> erwähnen, daß die beiden Vektoren eine Basis des spans
> der 4 vektoren sind.
>
> (Schau Dir aber noch an, wie Du eine Basis bekommst mit der
> Matrix, die die Zeilenvektoren als Zeilen enthält.)
Na zuerst bilde ich dann die Matrix davon:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 7 & -1 \\ 2 & 0 & -4 & 3 \\ 2 & 6 & -22 & 8 \\ 3 & 3 & -15 & 7 }
[/mm]
Überführe diese in die NZSF
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -3 & 5/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dann ist der Kern(A) = [mm] (\vektor{2x_3 - 3/2x_4 \\ 3x_3 - 5/6x_4 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] | [mm] x_3, x_4 \in \IR)
[/mm]
und die lineare Hülle ist dann: LH = ( [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-3/2 \\ -5/6 \\ 0 \\ 1})
[/mm]
>
> LG Angela
> >
> > > LG Angela
> >
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> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > > Bestimmen Sie die Dimension von der linearen
> > > Hülle
> > > > > > > folgender Zeilenvektoren im [mm]ZK^4:[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]v_1=[/mm] (1, -3, 7, -1), [mm]v_2=(2,[/mm] 0, -4, 3),
> [mm]v_3=(2,[/mm]
> > > 6,
> > > > > -22,
> > > > > > 8),
> > > > > > > [mm]v_4=(3,[/mm] 3, -15, 7)
> > > >
> > (Schau Dir aber noch an, wie Du eine Basis bekommst mit der
> > Matrix, die die Zeilenvektoren als Zeilen enthält.)
>
> Na zuerst bilde ich dann die Matrix davon:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 7 & -1 \\ 2 & 0 & -4 & 3 \\ 2 & 6 & -22 & 8 \\ 3 & 3 & -15 & 7 }[/mm]
>
> Überführe diese in die NZSF
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -2 & 3/2 \\ 0 & 1 & -3 & 5/6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
die beiden Zeilenvektoren sind eine Basis des aufgespannten Raumes.
>
> Dann ist der Kern(A) = [mm](\vektor{2x_3 - 3/2x_4 \\ 3x_3 - 5/6x_4 \\ x_3 \\ x_4}[/mm]
> | [mm]x_3, x_4 \in \IR)[/mm]
Der Kern dieser Matrix interessiert doch niemanden.
Da hat keiner nach gefragt.
>
> und die lineare Hülle ist dann: LH = ( [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-3/2 \\ -5/6 \\ 0 \\ 1})[/mm]
???
Das ist eine Basis des Kerns der Matrix - aber wie gesagt: ich weiß nicht, wofür Du sie brauchst.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Ist denn die Basis nicht die lineare Hülle?
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> Ist denn die Basis nicht die lineare Hülle?
Hallo,
Basis= linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Die lineare Hülle der Basis ist der Raum, dessen Basis die Basis ist.
Falls ich es wider Erarten noch nicht gesagt habe: ich rate Dir dringend, die Begriffe und einschlägigen Sätze nachzuarbeiten. Pi mal Daumen irgendwie die richtige Richtung reicht nicht.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 03.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Ist denn die Basis nicht die lineare Hülle?
>
> Hallo,
>
> Basis= linear unabhängiges Erzeugendensystem.
>
> Die lineare Hülle der Basis ist der Raum, dessen Basis die
> Basis ist.
>
> Falls ich es wider Erarten noch nicht gesagt habe: ich rate
> Dir dringend, die Begriffe und einschlägigen Sätze
> nachzuarbeiten. Pi mal Daumen irgendwie die richtige
> Richtung reicht nicht.
>
> LG Angela
Ja aber ich muss doch wissen, wieviele elemente in der linearen Hülle sind, um sagen zu können, wie groß die Dimension ist oder nicht?
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> > > Ist denn die Basis nicht die lineare Hülle?
> >
> > Hallo,
> >
> > Basis= linear unabhängiges Erzeugendensystem.
> >
> > Die lineare Hülle der Basis ist der Raum, dessen Basis die
> > Basis ist.
> >
> > Falls ich es wider Erwarten noch nicht gesagt habe: ich rate
> > Dir dringend, die Begriffe und einschlägigen Sätze
> > nachzuarbeiten. Pi mal Daumen irgendwie die richtige
> > Richtung reicht nicht.
> >
> > LG Angela
>
>
> Ja aber ich muss doch wissen, wieviele elemente in der
> linearen Hülle sind, um sagen zu können, wie groß die
> Dimension ist oder nicht?
Hallo,
nein.
Um die Dimension zu wissen, mußt du wissen, aus wievielen Elementen die Basis besteht.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 04.12.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
>
> nein.
>
> Um die Dimension zu wissen, mußt du wissen, aus wievielen
> Elementen die Basis besteht.
>
> LG Angela
> >
Also berechne ich mir die Basis, anhand der gegebenen Vektoren und jenachdem, wie viele linear unabhängig sind, so sieht dann auch die Dimension aus.
Kann ich dann nicht schon bei der Matrix in Zeilenstufenform sagen, dass die Dimension = 2 ist? Da sehe ich ja zwei Nullzeilen.
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Hallo,
> Also berechne ich mir die Basis, anhand der gegebenen
> Vektoren und jenachdem, wie viele linear unabhängig sind,
> so sieht dann auch die Dimension aus.
Das ist insofern Unsinn, da bei einer Basis alle beteiligten Vektoren linear unabhängig sind. Und außerdem ist es unprofessionell formuliert, da muss man wirklich gründlicher sein, wie Angela ja auch schons schrieb!
> Kann ich dann nicht schon bei der Matrix in
> Zeilenstufenform sagen, dass die Dimension = 2 ist? Da sehe
> ich ja zwei Nullzeilen.
Ja, aber entscheidend ist, dass man keine weiteren Nullzeilen erhalten kann, also hat die lineare Hülle hier die Dimension 2.
Stell dir das mal so vor: im [mm] \IR^3 [/mm] ist die lineare Hülle von zwei linear unabhängeigen Vektoren ein Unterraum in Form einer Ebene, also geometrisch gesprochen eine Ebene, die den Ursprung enthält.
Welches Kriterium musst du jetzt an diejenigen Richtungsvektoren stellen, mit denen du die Ebene beschreiben möchtest? Siehst du dann eventuell ein, dass du eigentlich längst am Ziel bist und nur noch das Resultat in adäquater Form präsentiert werden will?
Gruß, Diophant
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