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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mo 09.10.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | Man löse das System von Differentialgleihungen
[mm] y_1 [/mm] ´ = [mm] 2y_1 [/mm] - [mm] y_2
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] ´ = [mm] 3y_1 [/mm] - [mm] 2y_2 [/mm] |
Ich grüße euch!
Irgendwie stochere ich bei dieser Aufgabe im Dunklen :((
Man kann ja dieses System kürzer schreiben:
y´ = A y , mit y = [mm] (y_1 [/mm] , [mm] y_2)^t
[/mm]
Nun muss ich A untersuchen auf diese Fälle:
1. A ist Diagonalmatrix
2. A ist diagonalisierbar
3. A ist nicht diagonalisierbar
Das habe ich schon gemacht und herausgefunden, dass Fall 2 vorliegt. A ist also diagonaliserbar, und es gilt:
A = [mm] T^{-1} [/mm] D T
Matrizen bestimmt ergibt:
[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 3 & -2 } [/mm] = [mm] \pmat{ -3/2 & 3/2 \\ 3/2 & -1/2 } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Jetzt sagt mir das Skript, wenn Fall 2 vorliegt, so schreibt sich das System y´=Ay in der From:
(Ty)´ = D(Ty).
Es gilt nun das System nach (Ty) zu lösen, wie es in Fall 1 getan wird. Das heißt dann:
es gilt [mm] y_i(t) [/mm] = [mm] C_i e^{ \lambda_{i} t}.
[/mm]
Hier beginnt mein Problem zu wachsen! Ich weiß nicht, was ich mit dieser Gleichung anfangen soll. Woher weiß ich denn was [mm] C_i [/mm] ist und ist denn das
[mm] y_i(t) [/mm] = [mm] C_i e^{ \lambda_{i} t}
[/mm]
schon die Lösung oder die Lösungen für die verschiedenen i??
Trotzdem habe ich versucht weiter zu machen ;)
(Ty)´= D(Ty)
= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [ [mm] \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{ y_1 \\ y_2 }]
[/mm]
= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{ 1/3y_1 + y_2 \\ y_1 + y_2 }
[/mm]
= [mm] \vektor{ -1/3y_1 - y_2 \\ y_1 + y_2 }
[/mm]
Also (Ty)´= [mm] \vektor{ -1/3y_1 - y_2 \\ y_1 + y_2 }.
[/mm]
Laut meines Skriptes ist nun y zu ermitteln durch Lösung eines linearen Gleichungsystems. Aber welches ist denn das bzw. wie komme ich darauf?
Ich denke es wird klar, dass ich hier nicht den geringsten Schimmer habe wie diese Aufgabe zu lösen sein kann.
Mein Skript hilft mir nicht weiter und in den 6 Büchern über lineare Algebra, die ich habe, ist dies nicht Thema. Ich bin demnach gänzlich aufgeschmissen.
Ich habe diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
[PS.: Sollte meine Frage in diesem Forum an der falschen Stelle sein, bitte ich in aller Form um Verzeihung (es steht halt in meinem LA- Skript ;)]
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> Man löse das System von Differentialgleihungen
> [mm]y_1[/mm] ´ = [mm]2y_1[/mm] - [mm]y_2[/mm]
> [mm]y_2[/mm] ´ = [mm]3y_1[/mm] - [mm]2y_2[/mm]
> Ich grüße euch!
>
> Irgendwie stochere ich bei dieser Aufgabe im Dunklen :((
>
> Man kann ja dieses System kürzer schreiben:
> y´ = A y , mit y = [mm](y_1[/mm] , [mm]y_2)^t[/mm]
>
> Nun muss ich A untersuchen auf diese Fälle:
> 1. A ist Diagonalmatrix
> 2. A ist diagonalisierbar
> 3. A ist nicht diagonalisierbar
>
> Das habe ich schon gemacht und herausgefunden, dass Fall 2
> vorliegt. A ist also diagonaliserbar, und es gilt:
> A = [mm]T^{-1}[/mm] D T
>
> Matrizen bestimmt ergibt:
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 3 & -2 }[/mm] = [mm]\pmat{ -3/2 & 3/2 \\ 3/2 & -1/2 } \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
So weit so gut (ich habe die Diagonalisierung nicht nachgerechnet)
$y' = [mm] \pmat{-3/2 & 3/2 \\ 3/2 & -3/2}\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }y$
[/mm]
Beide Seiten links mit T multipliziert:
[mm] $\pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }y' [/mm] = [mm] \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }\pmat{-3/2 & 3/2 \\ 3/2 & -3/2}\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }y [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1/3 & 1 \\ 1 & 1 }y$
[/mm]
Setze nun z = Ty und löse nach der Hilfsvariablen z auf. Mir scheint, du hattest ein ducheinander, weil du y un z verwechselt hast, da du keine neue Bezeichnung eingeführt hast.
$z' = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] z$
Das System ist leicht: [mm] $z_1(t) [/mm] = [mm] C_1 e^{-t}$, $z_2(t) [/mm] = [mm] C_2 e^t$
[/mm]
Um an y zu kommen, musst du noch das lineare System Ty = z nach y auflösen, was einfach ist, da du [mm] T^{-1} [/mm] schon berechnet hast.
Was die C angeht:
Die [mm] $C_i$ [/mm] sind beliebige Konstanten.
Beispiel:
Die Gleichung $a' = a$ wird z.B. von $a(t) = [mm] e^t$, [/mm] aber auch von [mm] $a(t)=2e^t$ [/mm] erfüllt. Und da an Stelle der 2 jede Zahl stehen könnte, schreibt man stattdessen $a(t) = C [mm] e^t$ [/mm] als Lösung.
Leonhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 15.10.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hi leonhard!
Ich danke dir für deine Antwort; nach mehrmaligem Durchlesen und rumtüftlerei habe ich - meine ich zumindest - den richtigen Weg gefunden!
Also ich stand dabei die Diagonalmatrix zu bererechnen, die erste Rechnung war falsch, hier noch einmal die richtige^^:
[mm] D=T^{-1}AT
[/mm]
<=> D= [mm] \pmat{ 3/2 & -1/2 \\ -3/2 & 3/2 } \pmat{ 2 & -1 \\ 3 & -2 } \pmat{ 1 & 1/3 \\1 & 1 }
[/mm]
<=> D= [mm] \pmat{ 3/2 & -1/2 \\ -3/2 & 3/2 } \pmat{ 1 & -1/3 \\ 1 & -1}
[/mm]
<=> D= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
=> y´= Ay
<=> y´= [mm] T^{-1}DT [/mm] Jetzt T von links multiplizieren
<=> (Ty)´= D(Ty) Jetzt (Ty)=z
<=> z´= Dz
=> [mm] z_{1} [/mm] ´= [mm] z_1 [/mm] und
[mm] z_{2} [/mm] ´= [mm] -z_2
[/mm]
=> [mm] z_1 [/mm] (t)= [mm] C_1 e^{t} [/mm] und
[mm] z_2 [/mm] (t)= [mm] C_2 e^{-t}
[/mm]
Jetzt löse ich noch die Substitution
Ty=z
<=> Ty= [mm] \vektor{ z_1 (t) \\ z_2 (t) }
[/mm]
<=> Ty= [mm] \vektor{ C_1 e^t \\ C_2 e^{-t} } [/mm] von links [mm] T^{-1} [/mm] multiplizieren
<=> y= [mm] \pmat{ 3/2 & -1/2 \\ -3/2 & 3/2 } \vektor{ C_1 e^t \\ C_2 e^{-t} }
[/mm]
=> [mm] y_1 [/mm] = 3/2 [mm] C_1 e^t [/mm] - 1/2 [mm] C_2 e^{-t}
[/mm]
[mm] y_2 [/mm] = -3/2 [mm] C_1 e^t [/mm] + 3/2 [mm] C_2 e^{-t}
[/mm]
Ich hoffe, dass dies die richtige Lösung ist, sollte die Aufgabe falsch gelöst sein, bitte ich darum mir den Fehler zu schreiben, eine weitere ( bessere ) Lösung der Aufgabe fällt mir einfach nicht ein.
Ich wünsche eine gute Woche, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 17.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Element
Deine Lösg ist richtig, wie du auch durch einsetzen in die ursprüngliche DGL sehen kannst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Di 17.10.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hi Leduart/ Leonhard,
ich danke für eure Hilfe!!
Grüße Daniel
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