lineare DGL n.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 21.09.2009 | | Autor: | uecki |
Hallo,
bin gerade an der Variation der Koeffizienten für DGL n.Ordnung:
[mm] u^n [/mm] + [mm] a_{n-1}u^{n-1}+...+a_0u^0=s(t)
[/mm]
[mm] u_h= C_1u_1 [/mm] + ... + [mm] C_nu^n
[/mm]
[mm] u_p= C_1(t)u_1 [/mm] + ... + [mm] C_n(t)u^n
[/mm]
- die konstanten der homogenen Lösung werden durch Funktionen ersetzt
- nun müssen noch die Ableitungen u',u'', ... , [mm] u^n [/mm] gebildet werden
- es soll möglichst versucht werden höhere Ableitungen der [mm] C_i(t) [/mm] zu vermeiden. Dazu werden folgende Nebenbedingungen gebildet:
[mm] u_p [/mm] = [mm] \summe_{}^{}C_i*u_i
[/mm]
u'_p= [mm] \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu_i }_{=0 als Forderung} [/mm] + [mm] \summe_{}^{}C_iu'_i
[/mm]
u''_p= [mm] \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu'_i }_{=0} [/mm] + [mm] \summe_{}^{}C_iu''_i
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] u^{n-1}_p= \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu^{n-2}_i }_{=0} [/mm] + [mm] \summe_{}^{}C_iu^{n-1}_i
[/mm]
[mm] u^n_p= \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu^{n-1}_i }_{\not=0} [/mm] + [mm] \summe_{}^{}C_iu^n_i
[/mm]
[mm] \summe_{}^{} c'_iu^{n-1} [/mm] darf hier nicht mehr gleich Null gesetzt werden.
Gesucht ist demnach: Wie groß ist [mm] \summe_{}^{} c'_iu^{n-1} [/mm] ?
[mm] p(D)u_p= \summe_{}^{}c'_iu^{n-1}_i [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n}c'_i \summe_{k=0}^{n} a_ku^{i}_k [/mm] = s(t)
= [mm] \summe_{}^{}c'_iu^{n-1}_i [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}c'_k \summe_{i=0}^{n} \underbrace{a_iu^{i}_k}_{=p(D)u_k=0} [/mm] = s(t)
[mm] \Rightarrow p(D)u_p= \summe_{}^{} c'_iu^{n-1}_i [/mm] = s(t)
So, ich verstehe da nicht, warum [mm] \summe_{}^{} c'_iu^{n-1} [/mm] aufeinmal nicht mehr gleich 0 gesetzt werden darf ?
Hoffe jemand weiß das.
Den Rest verstehe ich dann wieder komischerweise. Aber das ist ja ziemlich analog zu der Variation der Konstanten für DGL 1. Ordnung. Das gilt ja auch, dass [mm] C'*e^{integral_{}^{}{a(x) dx}} [/mm] = s(t) ist, und das ist hier ja am Ende das gleiche. Nur verstehe ich halt einfach nicht warum das aufeinmal nicht mehr gleich Null sein darf...???
LG
|
|
| |
|
Hallo uecki,
> Hallo,
>
> bin gerade an der Variation der Koeffizienten für DGL
> n.Ordnung:
>
> [mm]u^n[/mm] + [mm]a_{n-1}u^{n-1}+...+a_0u^0=s(t)[/mm]
> [mm]u_h= C_1u_1[/mm] + ... + [mm]C_nu^n[/mm]
> [mm]u_p= C_1(t)u_1[/mm] + ... + [mm]C_n(t)u^n[/mm]
>
> - die konstanten der homogenen Lösung werden durch
> Funktionen ersetzt
> - nun müssen noch die Ableitungen u',u'', ... , [mm]u^n[/mm]
> gebildet werden
> - es soll möglichst versucht werden höhere Ableitungen
> der [mm]C_i(t)[/mm] zu vermeiden. Dazu werden folgende
> Nebenbedingungen gebildet:
>
> [mm]u_p[/mm] = [mm]\summe_{}^{}C_i*u_i[/mm]
>
> u'_p= [mm]\summe_{}^{}\underbrace{C'_iu_i }_{=0 als Forderung}[/mm]
> + [mm]\summe_{}^{}C_iu'_i[/mm]
>
> u''_p= [mm]\summe_{}^{}\underbrace{C'_iu'_i }_{=0}[/mm] +
> [mm]\summe_{}^{}C_iu''_i[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> [mm]u^{n-1}_p= \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu^{n-2}_i }_{=0}[/mm] +
> [mm]\summe_{}^{}C_iu^{n-1}_i[/mm]
>
> [mm]u^n_p= \summe_{}^{}\underbrace{C'_iu^{n-1}_i }_{\not=0}[/mm] +
> [mm]\summe_{}^{}C_iu^n_i[/mm]
>
> [mm]\summe_{}^{} c'_iu^{n-1}[/mm] darf hier nicht mehr gleich Null
> gesetzt werden.
>
> Gesucht ist demnach: Wie groß ist [mm]\summe_{}^{} c'_iu^{n-1}[/mm]
> ?
>
> [mm]p(D)u_p= \summe_{}^{}c'_iu^{n-1}_i[/mm] + [mm]\summe_{i=0}^{n}c'_i \summe_{k=0}^{n} a_ku^{i}_k[/mm]
> = s(t)
>
> = [mm]\summe_{}^{}c'_iu^{n-1}_i[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n}c'_k \summe_{i=0}^{n} \underbrace{a_iu^{i}_k}_{=p(D)u_k=0}[/mm]
> = s(t)
>
> [mm]\Rightarrow p(D)u_p= \summe_{}^{} c'_iu^{n-1}_i[/mm] = s(t)
>
> So, ich verstehe da nicht, warum [mm]\summe_{}^{} c'_iu^{n-1}[/mm]
> aufeinmal nicht mehr gleich 0 gesetzt werden darf ?
> Hoffe jemand weiß das.
> Den Rest verstehe ich dann wieder komischerweise. Aber das
> ist ja ziemlich analog zu der Variation der Konstanten für
> DGL 1. Ordnung. Das gilt ja auch, dass
> [mm]C'*e^{integral_{}^{}{a(x) dx}}[/mm] = s(t) ist, und das ist hier
> ja am Ende das gleiche. Nur verstehe ich halt einfach nicht
> warum das aufeinmal nicht mehr gleich Null sein darf...???
Wird [mm]\summe_{}^{} c'_iu^{n-1}=0[/mm] gesetzt,
so bekommt man nur die Lösung [mm]c'_{i}=0[/mm],
was der Lösung der homogenen DGL entspricht.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Wronski-Determinante
>
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
|
