lineare Entwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Sa 16.03.2013 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | M = [mm] N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}{\summe_{m=-I}^{m=+I}exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}=
[/mm]
[mm] \bruch{N*\gamma^{2}*h^{2}*I*(I+1)}{3*K*T}*B
[/mm]
Beim Übergang vom mittleren zum rechten Teil der G (4.09) wurde die Exponentialfunktion wiederum bis zum linearen Glied entwickelt. Für die Summierung ist von [mm] \summe_{m}1 [/mm] = 2I+1, [mm] \summe_{m}m [/mm] = 0 und [mm] \summe_{m} m^{2} [/mm] = I(I +1)(2I +1)/3 Gebrauch gemacht worden. |
Wie funktioniert genau diese Entwicklung?
Und warum werden diese Teilschritte durchgeführt?
[mm] \summe_{m}1 [/mm] = 2I+1, [mm] \summe_{m}m [/mm] = 0 und [mm] \summe_{m} m^{2} [/mm] = I(I +1)(2I +1)/3
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo,
> M = [mm]N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}{\summe_{m=-I}^{m=+I}exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{N*\gamma^{2}*h^{2}*I*(I+1)}{3*K*T}*B[/mm]
>
> Beim Übergang vom mittleren zum rechten Teil der G (4.09)
> wurde die Exponentialfunktion wiederum bis zum linearen
> Glied entwickelt. Für die Summierung ist von [mm]\summe_{m}1[/mm] =
> 2I+1, [mm]\summe_{m}m[/mm] = 0 und [mm]\summe_{m} m^{2}[/mm] = I(I +1)(2I
> +1)/3 Gebrauch gemacht worden.
> Wie funktioniert genau diese Entwicklung?
Gemeint ist die Entwicklung der Exponentialfunktion in eine ![[]](/images/popup.gif) Taylor-Reihe bzw. die Ausnutzung ihrer Reihendarstellung.
Diese sagt aus: [mm]\exp(x) \approx 1 + x[/mm]
Man nähert die Exponentialfunktion also durch eine lineare Funktion. Genaugenommen ist es die Tangente der Expoentialfunktion an der Stelle [mm]x = 0[/mm]. Dies macht man oft in den Naturwissenschaften, um einfachere Formeln zu bekommen.
Hier wird das gemacht, weil man solche Summen von Exponentialfunktionen nicht vereinfachen kann, aber Summen von linearen Funktionen schon.
> Und warum werden diese Teilschritte durchgeführt?
> [mm]\summe_{m}1[/mm] = 2I+1, [mm]\summe_{m}m[/mm] = 0 und [mm]\summe_{m} m^{2}[/mm] =
> I(I +1)(2I +1)/3
Wenn du die Approximation durchführst, steht da zunächst:
[mm]M = N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}{\summe_{m=-I}^{m=+I}exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}= N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*\left(1+\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T}\right)}{\summe_{m=-I}^{m=+I}\left(1+\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T}\right)} = N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m + \bruch{h*\gamma*B}{K*T}*\summe_{m=-I}^{m=+I}m^2}{\summe_{m=-I}^{m=+I}1+\bruch{h*\gamma*B}{K*T}*\summe_{m=-I}^{m=+I}m}[/mm]
...und nun siehst du, dass du diese Formeln brauchst.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Sa 16.03.2013 | | Autor: | db60 |
> Hallo,
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> > M = [mm]N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}{\summe_{m=-I}^{m=+I}exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}=[/mm]
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> > [mm]\bruch{N*\gamma^{2}*h^{2}*I*(I+1)}{3*K*T}*B[/mm]
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> > Beim Übergang vom mittleren zum rechten Teil der G (4.09)
> > wurde die Exponentialfunktion wiederum bis zum linearen
> > Glied entwickelt. Für die Summierung ist von [mm]\summe_{m}1[/mm] =
> > 2I+1, [mm]\summe_{m}m[/mm] = 0 und [mm]\summe_{m} m^{2}[/mm] = I(I +1)(2I
> > +1)/3 Gebrauch gemacht worden.
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> > Wie funktioniert genau diese Entwicklung?
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> Gemeint ist die Entwicklung der Exponentialfunktion in eine
> Taylor-Reihe
> bzw. die Ausnutzung ihrer
> Reihendarstellung.
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> Diese sagt aus: [mm]\exp(x) \approx 1 + x[/mm]
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> Man nähert die Exponentialfunktion also durch eine lineare
> Funktion. Genaugenommen ist es die Tangente der
> Expoentialfunktion an der Stelle [mm]x = 0[/mm]. Dies macht man oft
> in den Naturwissenschaften, um einfachere Formeln zu
> bekommen.
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> Hier wird das gemacht, weil man solche Summen von
> Exponentialfunktionen nicht vereinfachen kann, aber Summen
> von linearen Funktionen schon.
>
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> > Und warum werden diese Teilschritte durchgeführt?
> > [mm]\summe_{m}1[/mm] = 2I+1, [mm]\summe_{m}m[/mm] = 0 und [mm]\summe_{m} m^{2}[/mm] =
> > I(I +1)(2I +1)/3
>
> Wenn du die Approximation durchführst, steht da
> zunächst:
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> [mm]M = N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}{\summe_{m=-I}^{m=+I}exp(\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T})}= N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m*\left(1+\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T}\right)}{\summe_{m=-I}^{m=+I}\left(1+\bruch{h*m*\gamma*B}{K*T}\right)} = N*\gamma*h \bruch{\summe_{m=-I}^{m=+I}m + \bruch{h*\gamma*B}{K*T}*\summe_{m=-I}^{m=+I}m^2}{\summe_{m=-I}^{m=+I}1+\bruch{h*\gamma*B}{K*T}*\summe_{m=-I}^{m=+I}m}[/mm]
>
> ...und nun siehst du, dass du diese Formeln brauchst.
>
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Vielen Dank für die tolle Erklärung.
Aber eine Sache noch. Wie werden diese Reihen berechnet?
Ich kenne bis jetzt nur Reihen der Form
z.B. [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k = 1+2+3+4+...+n
[mm] \summe_{m=-I}^{m=+I}1 [/mm]
Die schreibweise finde ich auch verwirrend!
Ich hätte jetzt gesagt [mm] \summe_{m=-I}^{m=+I}1= [/mm] 1+I-I
m ist ja eigentlich nicht drin als Index.
[mm] \summe_{m}1 [/mm] = 2I+1,
[mm] \summe_{m}m [/mm] = 0 und hier wäre es für mich -I+I=0
[mm] \summe_{m} m^{2} [/mm] = I(I +1)(2I +1)/3
Irgendwie blicke ich nicht ganz durch.
Danke für die Hilfe nochmal
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Hallo,
> Aber eine Sache noch. Wie werden diese Reihen berechnet?
>
> Ich kenne bis jetzt nur Reihen der Form
>
> z.B. [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k = 1+2+3+4+...+n
>
> [mm]\summe_{m=-I}^{m=+I}1[/mm]
> Die schreibweise finde ich auch verwirrend!
Wieso? Es bedeutet, dass die Terme in der Summe (hier "1") aufsummiert werden, und zwar für m = -I, -I+1, ..., 0, 1, ..., +I-1, I.
Man könnte auch schreiben: [mm] $\sum_{m = -I}^{I}1$.
[/mm]
Wenn du dir das mal überlegst, sind das genau $2I+1$ Summanden (von -I bis -1 sind es I Summanden, von +1 bis +I auch, und dann ist da noch die Null).
Weil über "1" (Eins) summiert wird, kommt also 2I+1 raus.
> Ich hätte jetzt gesagt [mm]\summe_{m=-I}^{m=+I}1=[/mm] 1+I-I
> m ist ja eigentlich nicht drin als Index.
siehe oben, das ist falsch. Du hättest rechnen müssen:
Oberer Index - Unterer Index + 1,
also $+I - (-I) + 1 = 2I+1$.
> [mm]\summe_{m}m[/mm] = 0 und hier wäre es für mich -I+I=0
Das ist richtig. Es ist [mm] $\sum_{m = -I}^{I}m [/mm] = 0$.
> [mm]\summe_{m} m^{2}[/mm] = I(I +1)(2I +1)/3
Um das zu bekommen, solltest du die (evtl. bekannte Formel)
[mm] $\sum_{m = 1}^{I}m^2 [/mm] = [mm] \frac{I*(I+1)*(2I+1)}{6}$ [/mm] benutzen.
Überlege dir, dass gilt: [mm] $\sum_{m = -I}^{-1}m^2 [/mm] = [mm] \sum_{m = 1}^{I}m^2$. [/mm] Daher: [mm] $\sum_{m = -I}^{I}m^2 [/mm] = [mm] 2*\sum_{m = 1}^{I}m^2 [/mm] = [mm] \frac{I*(I+1)*(2I+1)}{3}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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