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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 22.09.2005 | | Autor: | salicia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe eben schon eine Frage gestellt. Leider gibt es noch ein Problem, mit dem wir nicht zurechtkommen, deswegen gleich noch eine zweite Frage:
Berechne die Funktionsgleichungen für die Geraden:
a) durch die Punkte A(5/-2) und B(-1/4)
b) mit f(0)=4 und f(-5)=7
Vielleicht kann man mir auch bei dieser Frage ganz ausführlich, sozusagen für Anfänger, unter die Arme greifen und mich und meinen Sohn auf die Lösung bringen, so dass er dann auch andere ähnliche Fragen beantworten kann. Wäre echt super und für eventuelle Mühen danke ich hier schon einmal im Voraus!!!
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Hi, Salicia,
> Ich habe eben schon eine Frage gestellt. Leider gibt es
> noch ein Problem, mit dem wir nicht zurechtkommen, deswegen
> gleich noch eine zweite Frage:
>
> Berechne die Funktionsgleichungen für die Geraden:
> a) durch die Punkte A(5/-2) und B(-1/4)
> b) mit f(0)=4 und f(-5)=7
>
Also: Die allgemeine Geradengleichung lautet:
y = m*x + t.
Dabei sind x und y die Koordinaten der Punkte, die auf der Geraden liegen und m sowie t zwei für die Gerade charakteristische Konstante:
m = Steigungsfaktor; t = y-Abschnitt.
Eine Geradengleichung zu berechnen heißt daher letztlich:
Bestimme m und t.
Zu Deinem ersten Beispiel:
Setze die Punktkoordinaten (jeweils x und y) in y=mx+t ein und bestimme daraus m und t:
Zunächst A(5/-2), also: x=5; y=-2: -2 = 5m + t.
Dann B(-1/4), also: x=-1; y=4: 4 = -m + t.
Nun kannst Du z.B. die 2. Gleichung nach t auflösen (t = m+4)
und dies in die erste Gleichung einsetzen:
-2 = 5m + m+4
Umgeformt: -6 = 6m bzw. 6m = -6. Somit: m=-1.
Zur Erinnerung: t=m+4; daher nun: t = -1+4 = 3
Ergebnis für die Geradengleichung: y = -x + 3.
Aufgabe 2:
Hier sind die Punkte sozusagen "verklausuliert" gegeben:
f(0) = 4 entspricht dem Punkt A(0/4),
f(-5) = 7 entspricht dem Punkt B(-5/7).
Ansonsten geht die Aufgabe nach demselben Muster wie die erste.
Probier's mal selbst!
Ergebnis: y = [mm] -\bruch{3}{5}x [/mm] + 4.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Do 22.09.2005 | | Autor: | rotespinne |
Wenn f(0) = 4, dann bedeutet das doch aber dass y=x. Dementsprechend müsste dann x= 4 und y=0, oder nicht????
So haben wir es jedenfalls gelernt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Do 22.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo rotespinne,
> Wenn f(0) = 4, dann bedeutet das doch aber dass y=x.
Was meinst du damit? Warum sollte y=x sein, nur weil f(0)=4?
> Dementsprechend müsste dann x= 4 und y=0, oder nicht????
Nein, f(0) und 4 ist ein y-Wert, 0 ein x-Wert.
> So haben wir es jedenfalls gelernt.
Ich hoffe nicht...
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Do 22.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo salicia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne die Funktionsgleichungen für die Geraden:
> a) durch die Punkte A(5/-2) und B(-1/4)
> b) mit f(0)=4 und f(-5)=7
Nun, diese Aufgabe kann auf verschiedene Art und Weise gelöst werden, deshalb solltest du mal in den Unterlagen deines Sohnes nachsehen wie er es machen soll. Wenn die Klasse nach einem Buch vorgeht, würde das auch als Angabe reichen.
Zwerglein hat nun bereits eine Variante vorgeschlagen.
Eine weitere ist die direkte Anwendung der Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
[mm] $y-y_A=\bruch{y_A-y_B}{x_A-x_B}*(x-x_A)$
[/mm]
mit anschließendem Auflösen nach [mm] $y=\ldots$.
[/mm]
Statt fertige Formeln zu lernen, die man morgen wieder vergessen hat, würde ich aber so vorgehen:
Gesucht ist eine Geradengleichung der Form $y=m*x+b$.
Die gegebenen Punkte A und B können direkt dazu benutzt werden, ein Steigungsdreieck zu bilden und die Formel
[mm] $m=\bruch{y_A-y_B}{x_A-x_B}$
[/mm]
[mm] ($x_A$: [/mm] x-Koordinate, also 1. Koordinate des Punktes A, [mm] $y_A$: [/mm] y-Koordinate, also 2. Koordinate des Punktes A, entsprechend [mm] $x_B$ [/mm] und [mm] $y_B$)
[/mm]
anzuwenden:
[mm] $m=\bruch{-2-4}{5-(-1)}=\bruch{-6}{6}=-1$
[/mm]
Nun kennen wir bereits die Steigung m der Geradengleichung, setzen wir sie schon mal ein:
$y=-1*x+b$
Nun ein weiterer wichtiger Zusammenhang, der das Verständnis der Idee "Funktion" voraussetzt; eine Funktion ist nämlich eine Zuordnung, einem x-Wert wird (vermöge der Funktionsvorschrift) ein y-Wert zugeordnet.
Damit nun der Punkt A auf der Gerade liegt, muss dem x-Wert 5 durch die gesuchte Geradengleichung der y-Wert -2 zugeordnet sein, d.h., wenn man für x den Wert 5 einsetzt muss als y-Wert -2 herauskommen:
$-2=-1*5+b$
Damit ist das b nun eindeutig festgelegt, lösen wir die Gleichung nach b auf:
$-2=-1*5+b$ | +5
[mm] $\gdw$ [/mm] $3=b$
Die gesuchte Geradengleichung lautet also:
$y=-1*x+3$
bzw. kürzer
$y=-x+3$
Der Aufgabenteil b) fragt wieder den Zusammenhang ab, dass f(0)=4 genau dann gilt, wenn der Punkt A(0|4) auf der Gerade liegt. Ebenso für f(-5)=7: B(-5|7).
So kann der Aufgabenteil wie a) gelöst werden.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 Fr 23.09.2005 | | Autor: | salicia |
Wenn mit dieser tollen Hilfe eine 3 in der Arbeit rauskommt, geben wir virtuell hier einen aus!!! Vielen Dank!
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