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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Niete |
| Aufgabe | Auf einer Insel liegen die drei Dörfer A,B,C. Sie haben die Koordinaten A(2/1), B (10/5) und C (10/9). Nun soll eine Rettungstation gebaut werden, die von allen drei Dörfern gleich weit entfernt sein soll.
Löse die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch. |
Bei der zeichnerischen Lösung habe ich bei allen Punkten mit dem Zirkel angesetzt und um jeden Punkt einen Kreis gezogen, z.B. 4cm. dort wo sie sich schneiden, ist die Station ja von allen Punkten gleich weit entfernt. So erhielt ich die Koordinate (3,75/7 1/3).
Leider weiß ich nicht, wie ich ansetzen muss, um die Lösung auf rechnerischen Wege zu bestimmen! Es wäre großartig, wenn mir hier jemand helfen könnte, da ich am Montag eine wichtge Arbeit schreibe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Sa 17.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Hola,
sei (X/Y) der zu bestimmende Punkt der Rettungsstation. Laut Aufgabenstellung soll die Entfernung dieses Punktes von allen Dörfern dieselbe sein. Die Entfernung zu einem Dorf ist der Betrag des Vektors, der die Rettungsstation und das Dorf verbindet, z.B. bei Dorf A:
Verbindungsvektor: (2/1) - (X/Y) = (2-X/1-Y)
Betrag: [mm] \sqrt{(2-X)^2 + (1-Y)^2}
[/mm]
Das musst Du für alle Dörfer formulieren und dann nach X und Y auflösen.
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Niete |
da ich jedoch x und y weiterhin nicht als werte habe, wie soll ich dann danach auflösen? Ds ist doch nicht möglich, wenn mir zwei Werte fehlen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Sa 17.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
AT-Colt schrieb doch:
Das musst Du für alle Dörfer formulieren und dann nach X und Y auflösen.
Das ist im Prinzip meine Lösung über die Vektoren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Niete |
Leider bringt mich das nicht weiter! Wenn ich es einmal nicht auflösen kann, kann ich es auch nicht dreimal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Sa 17.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Abstand zu Dorf A:
$ [mm] \sqrt{(2-X)^2 + (1-Y)^2} [/mm] $
Abstand zu Dorf B:
$ [mm] \sqrt{(10-X)^2 + (5-Y)^2} [/mm] $
Also muß schon mal gelten:
$ [mm] \sqrt{(2-X)^2 + (1-Y)^2}=\sqrt{(10-X)^2 + (5-Y)^2} [/mm] $
Vereinfache obige Gleichung und bring noch Dorf C ins spel.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Niete |
Danke, jetzt habe sogar ich es verstanden :) Danke für eure Geduld!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 17.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es geht auch über Gleichungssysteme.
Der zu bestimmende Punkt P(x/y) soll den unbekannten Abstand a zu allen Orten haben. Wenn ich für alle drei Orte ein Achsenparalleles Dreieck einzeichne, bekommst du folgende drei Gleichungen (Nach Pythagoras)
Aus Dorf A:
(x-2)²+(y-1)²=a²
Aus Dorf B:
(x-10)²+(y-5)²=a²
Aus C)
(x-10)²+(y-9)²=a²
Stellt man nun ein Gleichungssystem auf, ergibt sich:
[mm] \begin{vmatrix}(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=a^{2}\\
(x-10)^{2}+(y-5)^{2}=a^{2}\\
(x-10)^{2}+(y-9)^{2}=a^{2}\end{vmatrix} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=a^{2}\\
x^{2}-20x+100+y^{2}-10y+25=a^{2}\\
x^{2}-20x+100+y^{2}-18y+81=a^{2}\end{vmatrix} [/mm]
[mm] \stackrel{I-II;I-III}{\Leftrightarrow} \begin{vmatrix}x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=a^{2}\\
16x-96+12y-24=0\\
16x-96+20y-80=0\end{vmatrix} [/mm]
[mm] \stackrel{II-III}{\Leftrightarrow} \begin{vmatrix}x^{2}-4x+4+y^{2}-2y+1=a^{2}\\
16x-96+12y-24=0\\
-8y+64=0\end{vmatrix} [/mm]
Nun bestimme aus der letzten Gleichung y, damit dann aus der zweiten Gleichung x und damit dann aus der ersten Gleichung a.
Marius
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Hallo,
> Auf einer Insel liegen die drei Dörfer A,B,C. Sie haben
> die Koordinaten A(2/1), B (10/5) und C (10/9). Nun soll
> eine Rettungstation gebaut werden, die von allen drei
> Dörfern gleich weit entfernt sein soll.
> Löse die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.
> Bei der zeichnerischen Lösung habe ich bei allen Punkten
> mit dem Zirkel angesetzt und um jeden Punkt einen Kreis
> gezogen, z.B. 4cm. dort wo sie sich schneiden, ist die
> Station ja von allen Punkten gleich weit entfernt. So
> erhielt ich die Koordinate (3,75/7 1/3).
Diese zeichnerische Lösung kann auch verbessert werden. Es handelt sich bei dem gesuchten Punkt um den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Dieser Umkreismittelpunkt ist gleichzeitig der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Was du anscheinend nur durch Einstellen eines gewissen Radius probiert hast, kann man auch (exakt) konstruieren, indem man zwei Mittelsenkrechten konstruiert (dazu jeweils genügend große Kreise um die beiden Ecken, die die Seite begrenzen, zeichnen und Mittelsenkrechte durch die beiden Schnittpunkte zeichnen). Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt von den zwei konstruierten Mittelsenkrechten.
LG
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