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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - lineare Hüllen / Unterräume
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lineare Hüllen / Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mi 21.01.2009
Autor: Wastelander

Aufgabe
Seien die Unterräume $ [mm] U_1, U_2 \subset \IR^4 [/mm] $ mit

[mm] U_1 = Lin \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \ \ \ \ U_2 = Lin \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \lambda \end{pmatrix} \right) [/mm]

gegeben. Prüfen Sie, für welches $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $ [mm] $U_1 \subset U_2$ [/mm] gilt

Bei dieser Aufgabe habe ich nicht den geringsten Anhaltspunkt. Vielleicht bin ich auch einfach blind und sie ist total einfach, aber mir fällt nicht ein, wie ich das richtige [mm] \lambda [/mm] ermitteln soll. Bildlich kann ich es mir ( bis auf die Vierdimensionalität der Vektoren ;-) ) zwar ungefähr vorstellen - [mm] U_1 [/mm] spannt eine Ebene auf und [mm] U_2 [/mm] einen Raum - aber mir fällt kein Weg ein, um das [mm] \lambda [/mm] zu errechnen.

        
Bezug
lineare Hüllen / Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:09 Do 22.01.2009
Autor: kuemmelsche

Hallo,

na damit [mm] U_1 [/mm] in [mm] U_2 [/mm] enthalten ist, müssen sich doch die Vektoren in [mm] U_1 [/mm] linear abhängig von den Vektoren aus [mm] U_2 [/mm] sind. Das ist doch dann, wenn die Vektoren in [mm] U_1 [/mm] sich mit Vektoren aus [mm] U_2 [/mm] darstellen lassen. D.h. du musst überprüfen, für welche [mm] \lambda [/mm] das einfach nicht gilt.

lg Kai

Bezug
                
Bezug
lineare Hüllen / Unterräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Do 22.01.2009
Autor: Wastelander


> Hallo,
>  
> na damit [mm]U_1[/mm] in [mm]U_2[/mm] enthalten ist, müssen sich doch die
> Vektoren in [mm]U_1[/mm] linear abhängig von den Vektoren aus [mm]U_2[/mm]
> sind.

Tut mir leid, aus dem Satz werde ich nicht schlau

> Das ist doch dann, wenn die Vektoren in [mm]U_1[/mm] sich mit
> Vektoren aus [mm]U_2[/mm] darstellen lassen. D.h. du musst
> überprüfen, für welche [mm]\lambda[/mm] das einfach nicht gilt.
>
> lg Kai

Müsste ich dann nicht überprüfen mit welchen [mm] \lambda [/mm] es doch gilt?

Bezug
                        
Bezug
lineare Hüllen / Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:36 Do 22.01.2009
Autor: felixf

Hallo

> > Hallo,
>  >  
> > na damit [mm]U_1[/mm] in [mm]U_2[/mm] enthalten ist, müssen sich doch die
> > Vektoren in [mm]U_1[/mm] linear abhängig von den Vektoren aus [mm]U_2[/mm]
> > sind.

>

> Tut mir leid, aus dem Satz werde ich nicht schlau

Du musst gucken: liegen alle Vektoren aus [mm] $U_1$ [/mm] in [mm] $U_2$? [/mm] Dazu reicht es (ueberleg dir warum!): die beiden erzeugenden Vektoren aus [mm] $U_1$ [/mm] liegen in [mm] $U_2$. [/mm]

> > Das ist doch dann, wenn die Vektoren in [mm]U_1[/mm] sich mit
> > Vektoren aus [mm]U_2[/mm] darstellen lassen. D.h. du musst
> > überprüfen, für welche [mm]\lambda[/mm] das einfach nicht gilt.
> >
> > lg Kai
>
> Müsste ich dann nicht überprüfen mit welchen [mm]\lambda[/mm] es
> doch gilt?

Ist doch dasselbe: wenn du weisst, fuer welche [mm] $\lambda$ [/mm] es gilt, weisst du automatisch auch fuer welche [mm] $\lambda$ [/mm] es nicht gilt (naemlich fuer alle anderen), und umgekehrt.

LG Felix


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