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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - lineare Rekursionen
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lineare Rekursionen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 So 10.02.2013
Autor: Tom1988

Aufgabe
Löse folgende lineare Rekursionen explizit nach am auf.

a(m+1) = 2(am )+ a(m-1)          (Klammern stehen für Zeichen im Index)

Hallo,

Vorlesung verpasst und schon erlischt das Licht am Ende des Tunnels.

So wie ich diese Aufgabe verstanden habe soll ich a(m) auf eine Seite bringen.

Mein Vorgehen wäre also:

a(m+1)/2 - a(m+1)/2 = a(m)

Kann mir vllt jemand backup geben? Vielen Dank :)

        
Bezug
lineare Rekursionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 10.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> Löse folgende lineare Rekursionen explizit nach am auf.
> a(m+1) = 2(am )+ a(m-1)          (Klammern stehen für
> Zeichen im Index)


Ich gehe mal davon aus, dass die Rekursionsgleichung lautet:

[mm] $a_{m+1} [/mm] = [mm] 2*a_{m} [/mm] + [mm] a_{m-1}$. [/mm]



> So wie ich diese Aufgabe verstanden habe soll ich a(m) auf
> eine Seite bringen.
>  
> Mein Vorgehen wäre also:
>  
> a(m+1)/2 - a(m+1)/2 = a(m)


Nein, das ist nicht die Lösung.
Du sollst ja [mm] $a_m$ [/mm] nicht "nur" auf eine Seite bringen, du sollst EXPLIZIT nach [mm] $a_m$ [/mm] auflösen. Das heißt, es muss etwas dastehen der Form

[mm] $a_m [/mm] = $... Nur noch Terme mit $m$, aber nicht mit [mm] $a_{m}, a_{m-1}, [/mm] ...$


Eine lineare Rekursionsgleichung kann man meist ganz gut mit einem Ansatz der Form

[mm] $a_m [/mm] = [mm] b_1 \cdot e^{\lambda_1 m} [/mm] + [mm] b_2 \cdot e^{\lambda_2 m}$ [/mm]

lösen. Setz das doch mal in die Rekursionsgleichung ein und gucke, ob du Bedingungen für [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] extrahieren kannst.

----

Es gäbe auch noch eine Alternative, nämlich die Rekursionsgleichung als Matrixgleichung umzuschreiben:

[mm] $\begin{pmatrix}a_{m+1}\\ a_m\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a_{m}\\ a_{m-1}\end{pmatrix}$. [/mm]

Daraus folgt

[mm] $\begin{pmatrix}a_{m+1}\\ a_m\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^{m-1} \cdot \begin{pmatrix}a_{1}\\ a_{0}\end{pmatrix}$. [/mm]

Und das Problem reduziert sich darauf die Potenzen der Matrix zu bestimmen (Diagonalisierung!)

Viele Grüße,
Stefan

Bezug
        
Bezug
lineare Rekursionen: Kleiner Tipp zur Kontrolle
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 So 10.02.2013
Autor: reverend

Hallo Tom,

wenn Du Stefans Tipps folgst, wirst Du eine Vermutung finden, wie das explizite Bildungsgesetz aussieht. Dazu hilft Dir vielleicht auch die "Namenskombination" Moivre-Binet.

Zur Überprüfung hilft auch folgendes:

Es wird eine Folge [mm] b_m [/mm] geben, so dass

[mm] a_{m+1}=b_{m}*a_1+b_{m-1}*a_0 [/mm] ist.

Und es wird gelten:

[mm] \lim_{m\to\infty}\bruch{b_{m+1}}{b_m}=1+\wurzel{2} [/mm]

(Hier lag noch so ein Zauberhut herum... es muss wohl Karneval sein ;-))

Grüße
reverend


Bezug
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