lineare Unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 05.06.2008 | | Autor: | Prijanka |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist ein Viereck ABCD ein Parallelogramm, so halbieren sich die Diagonalen. |
So unzwar verstehe ich einen Schritt nicht:
1. Schritt: Man zeichnet ein Parallelogramm ABCD, trägt die Diagonalen ein und kennzeichnet ihren Schittpunkt.
2.Schritt: Man drückt vektoriell die Voraussetzung aus: DIe Seiten [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{DC} [/mm] sowie die Seiten [mm] \overline{AD}
[/mm]
und [mm] \overline{BC} [/mm] sind jeweils zueinander parallel.
3. Schritt: Man drückt vektoriell die Behauptung aus: Die DIagonalen werden von ihrem Schnittpunkt M halbiert.
4. Schritt:
Für die "Diagonal"-Vektoren gilt: [mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] ; [mm] \overline{DB} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}
[/mm]
Weiterhin ist: [mm] \overline{AM} [/mm] = m * [mm] \overline{AC} [/mm] und [mm] \overline{MB} [/mm] = n * [mm] \overline{DB} [/mm] (m,n [mm] \in \IR)
[/mm]
Geschlossene Vektorkette: [mm] \overline{AM} [/mm] + [mm] \overline{MB} [/mm] + [mm] \overline{BA} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Also ist: [mm] m*(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] + [mm] n*(\vec{a}-\vec{b}) +(-\vec{a})=\vec{0}
[/mm]
Nach Distributivgesetz und Ausklammern von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] kommt dabei raus: (m + n - 1) * [mm] \vec{a} [/mm] + (m - n) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Und jetzt kommt der Punkt, wo ich nicht verstehe, warum [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] plötzlich wegfallen sollen ...
Da [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind,, folgt: m+n-1=0 ; m-n=0
Warum sind [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] jetzt weg?
Ich glaube nämlich, dass ich weil ich den Punkt nicht verstehe, das ganze Prinzip der Anwendungen in linearer Unabhängigkeit nicht verstehe...
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> Beweisen Sie: Ist ein Viereck ABCD ein Parallelogramm, so
> halbieren sich die Diagonalen.
> So unzwar verstehe ich einen Schritt nicht:
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> 1. Schritt: Man zeichnet ein Parallelogramm ABCD, trägt die
> Diagonalen ein und kennzeichnet ihren Schittpunkt.
>
> 2.Schritt: Man drückt vektoriell die Voraussetzung aus: DIe
> Seiten [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{DC}[/mm] sowie die Seiten
> [mm]\overline{AD}[/mm]
> und [mm]\overline{BC}[/mm] sind jeweils zueinander parallel.
>
> 3. Schritt: Man drückt vektoriell die Behauptung aus: Die
> DIagonalen werden von ihrem Schnittpunkt M halbiert.
>
> 4. Schritt:
> Für die "Diagonal"-Vektoren gilt: [mm]\overline{AC}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] +
> [mm]\vec{b}[/mm] ; [mm]\overline{DB}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm]
> Weiterhin ist: [mm]\overline{AM}[/mm] = m * [mm]\overline{AC}[/mm] und
> [mm]\overline{MB}[/mm] = n * [mm]\overline{DB}[/mm] (m,n [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Geschlossene Vektorkette: [mm]\overline{AM}[/mm] + [mm]\overline{MB}[/mm] +
> [mm]\overline{BA}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
> Also ist: [mm]m*(\vec{a}+\vec{b})[/mm] + [mm]n*(\vec{a}-\vec{b}) +(-\vec{a})=\vec{0}[/mm]
>
> Nach Distributivgesetz und Ausklammern von [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] kommt dabei raus: (m + n - 1) * [mm]\vec{a}[/mm] + (m - n) *
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
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> Und jetzt kommt der Punkt, wo ich nicht verstehe, warum
> [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] plötzlich wegfallen sollen ...
>
> Da [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] linear unabhängig sind,, folgt:
> m+n-1=0 ; m-n=0
>
> Warum sind [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] jetzt weg?
> Ich glaube nämlich, dass ich weil ich den Punkt nicht
> verstehe, das ganze Prinzip der Anwendungen in linearer
> Unabhängigkeit nicht verstehe...
Wenn die Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] linear unabhängig sind, dann muss die Nullsumme $(m + n - 1) * [mm] \vec{a} [/mm] + (m - n) * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] die "triviale Nullsumme" sein. D.h. beide skalaren Faktoren, $m+n-1$ von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und $m-n$ von [mm] $\vec{b}$ [/mm] in dieser Nullsumme müssen gleich $0$ sein (so ist lineare Unabhängigkeit definiert: mit linear unabhängigen Vektoren kann man nur die "triviale Nullsumme" bilden). Daher gilt das lineare Gleichungssystem $m+n-1=0$ und $m-n=0$ aus dem die gesuchten Teilverhältnisse $m$ und $n$ bestimmt werden können.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 05.06.2008 | | Autor: | Prijanka |
ähm^^
das fand ich jetzt ein bisschen kompliziert xD
also [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sollen irgendwie [mm] \vec{0} [/mm] sein?
ich mein...lösen die sich einfach auf? XD
weil [mm] \vec{a} [/mm] ist ja nicht gleich [mm] \vec{b} [/mm] O.O
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> ähm^^
> das fand ich jetzt ein bisschen kompliziert xD
> also [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] sollen irgendwie [mm]\vec{0}[/mm] sein?
Nein, nur die skalaren Faktoren $(m+n-1)$ bzw. $(m-n)$ in der fraglichen Nullsumme, die müssen 0 sein.
Wenn einer der beiden Vektoren, z.B. [mm] $\vec{a}$, $=\vec{0}$ [/mm] wäre, dann wären die beiden Vektoren auch nicht linear unabhängig, denn dann wäre schon [mm] $1\cdot \vec{a}+0\vec{b}=\vec{0}$ [/mm] eine nicht-triviale Nullsumme von [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$, [/mm] woraus sogleich deren lineare Abhängigkeit folgen würde.
> ich mein...lösen die sich einfach auf? XD
> weil [mm]\vec{a}[/mm] ist ja nicht gleich [mm]\vec{b}[/mm] O.O
Das kannst Du nur verstehen, wenn Du die in der Erklärung verwendeten Begriffe verstehst. Vielleicht findest Du solche Definitionen ja in Deinem Lehrbuch.
Eine Nullsumme von Vektoren ist eine Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren, die den Nullvektor ergibt.
Eine Nullsumme heisst "trivial", wenn alle skalaren Faktoren, die in einer Nullsumme auftreten, =0 sind. So wäre also die Nullsumme [mm] $0\vec{a}+0\vec{b}=\vec{0}$ [/mm] trivial, hingegen [mm] $2\vec{a}+3\vec{b}=\vec{0}$ [/mm] wäre, wenn sie denn gelten würde, nicht-trivial.
Dass aus der Definition linearer Unabhängigkeit folgt, dass jede aus den Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] gebildete Nullsumme trivial sein muss, habe ich schon erwähnt. Was kann ich also noch sagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Do 05.06.2008 | | Autor: | Prijanka |
mhhh okay diese Begriffe werden in meinem Buch nicht wirklich verwendet...
Naja den tieferen Sinn von Mathe werde ich wohl nie verstehen... :D
Also finde ich mich mit der Tatsache das die Vektoren wegflattern ab. xD
Ich hoffe mal, dass das jetzt auch bei anderen solcher Aufgaben so ähnlich verläuft *g* ->?<- (morgen Klausur und ich befürchte Schlimmes...)
Vielen Dank trotzdem für die Hilfe ^^
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Hallo,
rein anschaulich sind zwei Vektoren in der Ebene [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] wenn die Pfeile nicht parallel sind.
Das ist bei den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] die Dein Parallelogramm aufspannen, so.
[mm] 5\vec{a} [/mm] ist der Vektor, der 5mal so lang ist wie [mm] \vec{a} [/mm] und in dieselbe Richtung weist.
[mm] -3\vec{b} [/mm] ist der Vektor, der 3mal so lang ist wie [mm] \vec{b} [/mm] und in die entgegengesetzte Richtung Richtung weist.
Wenn nun
[mm] r\vec{a}+s \vec{b} [/mm] den Nullvektor [mm] \vec{0} [/mm] ergeben soll, bedeutet dies, daß Du es schaffen mußt, einen Vektor in Richtung [mm] \vec{a} [/mm] und einen in Richtung [mm] \vec{b} [/mm] "Fuß an Spitze" so zusammenzulegen, daß Du beim Nullpunkt landest. Probier's aus mit Streichölzern, Schaschlikspießen, Mikadostäben: es geht nicht - es sei denn, Du entscheidest Dich jeweils fürs Null-fache der Vektoren, also k und l =0.
Das ist lineare Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Do 05.06.2008 | | Autor: | Prijanka |
also gut das hab ich ja eigentlich verstanden *g*
irgendwo hatten wir das glaub ich aber auch schonmal, dass ja entweder der Vektor oder die Klammer 0 sein muss, damit 0 rauskommt...^^
Ich war mir jetzt halt nur nich so sicher, warum die jetzt so unbedingt weg müssen :D
Danke noch mal :P
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