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kann mir einer vielleicht einen tip geben wie ich an folgende aufgabe rangehen muss?
Gibt es einen Unterraum U [mm] \subset \IR [/mm] und eine lineare Abbildung f : U -> U mit [mm] f(\wurzel{2}) [/mm] = 0
und f(2) = 2?
Betrachten Sie dazu [mm] \IR [/mm] einerseits als Vektorraum über sich selbst und
andererseits als Vektorraum über [mm] .\IQ.
[/mm]
Untersuchen Sie beide Fälle.
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> Gibt es einen Unterraum U [mm]\subset \IR[/mm] und eine lineare
> Abbildung f : U -> U mit [mm]f(\wurzel{2})[/mm] = 0
> und f(2) = 2?
> Betrachten Sie dazu [mm]\IR[/mm] einerseits als Vektorraum über
> sich selbst und
> andererseits als Vektorraum über [mm].\IQ.[/mm]
Hallo,
zunächst einmal ist es wichtig daß man [mm] \IR
[/mm]
1. als VR über sich selbst auffassen kann und
2. als Vektorraum über [mm] \IQ.
[/mm]
Die beiden Vektorräume unterscheiden sich sehr!
1. [mm] \IR [/mm] über [mm] \IR [/mm] hat die Dimension 1, denn aus [mm] 1\in (Vektorraum)\IR [/mm] kann man durch Multiplikation mit [mm] r\in (Skalarenkörper)\IR [/mm] jedes Element aus [mm] (Vektorraum)\IR [/mm] erzeugen.
2. Das geht in [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] nicht, denn hier stehen für die Multiplikation nur die rationalen Zahlen zur Verfügung. Man kann (nebenbei bemerkt!) zeigen, daß die Dimension dieses Vektorraumes überabzählbar ist. Meines Wissens ist keine Basis bekannt. Nur die Existenz einer Basis.
Nun zur Aufgabe:
Betrachten wir zunächst [mm] \IR [/mm] über [mm] \IR. [/mm] Sei r [mm] \in \IR [/mm] und x [mm] \in \IR.
[/mm]
Für jede lineare Abbildung gilt f(rx)=rf(x).
Tja, und wenn nun [mm] r=x=\wurzel{2}? [/mm] ...
Jetzt schauen wir [mm] \IR [/mm] ünber [mm] \IQ [/mm] an:
in diesem Vektorraum sind 2 und [mm] \wurzel{2} [/mm] linear unabhängig, denn
seien [mm] p,q\in \IQ
[/mm]
mit [mm] q*2+p\wurzel{2}=0.
[/mm]
==> [mm] \wurzel{2} \in \IQ [/mm] oder q=p=0
==> q=p=0 , denn [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ
[/mm]
Da in diesem Raum 2 und [mm] \wurzel{2} [/mm] linear unabhängig sind, kann man ihnen beliebig Werte zuweisen, eben auch
[mm] f(\wurzel{2}) [/mm] = 0 und f(2) =2.
Mit der oben def. Abbildung f und [mm] U:=<2,\wurzel{2}> [/mm] hat man das Gesuchte gefunden.
Gruß v. Angela
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