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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Fr 13.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker, und Mathematikerin.
Ich habe die lineare abbildung verstanden. Ich hatte so eine Aufgabe, das habe ich auch gelöst. ich möchte aber sicher sein. Wissen ist gut, kontrolle ist besser.
Sei f: [mm] \IR^{2} \to\IR^{2} [/mm] die lineare Abbildung, die durch die Matrix gegeben wird.
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }.
[/mm]
Ich musste zeigen Dass f [mm] \circ [/mm] f= id ist. das habe ich gezeigt. es kommt die Idenditet raus. Das ist ja auch ganz einfach.
Ich bin aber hier stehen geblieben, und denke seit 3 tagen. Ich bin ratlos. Aber es gibt ja Matheraum. DANKE
Ich bin hier stehen geblieben:
Jeder Vektor x [mm] \in \IR^{2} [/mm] lässt sich eindeutig darstellen als x=u+v
mit f(u)=u und f(v)= -v.
Ich bitte um Hilfe. Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Neco!
> Hallo lieber Mathematiker, und Mathematikerin.
>
> Ich habe die lineare abbildung verstanden. Ich hatte so
> eine Aufgabe, das habe ich auch gelöst. ich möchte aber
> sicher sein. Wissen ist gut, kontrolle ist besser.
>
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to\IR^{2}[/mm] die lineare Abbildung, die
> durch die Matrix gegeben wird.
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }.[/mm]
>
> Ich musste zeigen Dass f [mm]\circ[/mm] f= id ist. das habe ich
> gezeigt. es kommt die Idenditet raus. Das ist ja auch ganz
> einfach.
> Ich bin aber hier stehen geblieben, und denke seit 3 tagen.
> Ich bin ratlos. Aber es gibt ja Matheraum. DANKE
> Ich bin hier stehen geblieben:
>
> Jeder Vektor x [mm]\in \IR^{2}[/mm] lässt sich eindeutig darstellen
> als x=u+v
> mit f(u)=u und f(v)= -v.
Du solltest zunächst einmal soche Vektoren $u$ und $v$ finden:
Um einen solchen Vektor [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2} \in \IR^2$ [/mm] zu finden:
$f(u)=u$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }*\vektor{u_1\\u_2}=\vektor{u_1\\u_2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $u_2=0$ ($u_1 \in \IR$ [/mm] beliebig).
So, und nun wollen wir (da [mm] $\left\{u,\;v\right\}$ [/mm] ja eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] sein soll) nicht den Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] für $u$ haben, also wählen wir z.B.:
[mm] $u=\vektor{1\\0}$.
[/mm]
(Kontrolle:
[mm] $f\left(\vektor{1\\0}\right)=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }*\vektor{1\\0}=\vektor{1\\0}$ [/mm] )
Analog suchen wir einen Vektor [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2} \in \IR^2$, [/mm] der folgendes erfüllt:
$f(v)= -v$
[mm] $\gdw$
[/mm]
(i) [mm] $v_1+v_2=-v_1$ [/mm] (und
(ii) [mm] $-v_2=-v_2$, [/mm] wobei wir (ii) aber weglassen können, da dies keine Bedingung ist).
Zum Beispiel erfüllt die Wahl [mm] $v=\vektor{-1\\2}$ [/mm] du Bedingung $f(v)=-v$.
(Kontrolle:
[mm] $f\left(\vektor{-1\\2}\right)=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & -1 }*\vektor{-1\\2}=\vektor{1\\-2}=-\;\vektor{-1\\2}$ [/mm] )
So, und nun hast du (wenn du die Aufgabe etwas interpretierst und dich an den Begriff der Basis erinnerst) nur noch zu zeigen, dass die Menge [mm] $\left\{u,\;v\right\}=\left\{\vektor{1\\0},\;\vektor{-1\\2}\right\}$ [/mm] linear unabhängig (und damit eine Basis des [mm] $\IR^2$) [/mm] ist!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 13.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Ich habe jetz verstanden. Danke dir vielmals. Die Aufgabe hatte noch so ein Teil.
Finden Sie eine solche Darstellung für den Vektor [mm] \vektor{Tag Ihrer Geburt \\ Monat Ihrer Geburt}.
[/mm]
Angenommen ist mein Geburt 14 Tag Monat 7 dann sieht ja mein Vektor so aus.
[mm] \vektor{Tag Ihrer Geburt \\ Monat Ihrer Geburt}=\vektor{14 \\ 7}. [/mm] Muss ich jetz mein Vektor mit u und v darstellen.
also kann ich ja u = [mm] \vektor{1 \\ 0}, [/mm] und v= [mm] \vektor{-1 \\ 2} [/mm] vählen. aber wenn ich die v und u adiere muss es mein VEKTOR (g) rauskommen.
Mit den beiden Vektoren kann man schon mein Geburtsdatumvektor darstellen aber mit [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] naturlich. Das ist mir klar. Die [mm] lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] zu finden ist auch keine Problem. Aber es muss ja ohne [mm] lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] die Gleichung gelten.
MEINVEKTOR = u + v
kannst du mir bitte das auch erläutern? Danke
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Hallo Neco!
Hier kommt dir die Linearität zu Hilfe! Deshalb ist nämlich wegen $f(u)=u$ auch [mm] $f(\lambda_1u)=\lambda_1u$ [/mm] für jedes [mm] $\lambda_1\in\IR$!
[/mm]
Und genauso geht's mit $v$ und [mm] $\lambda_2$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 So 15.05.2005 | | Autor: | NECO |
ja aber wie stelle ich mein GeburtsVEKTOR dar. Mit velchen Vektoren
Kannst du kurz ein bespiel geben. oder am besten kannst du bitte disevektor darstellen. Dann vertehe ich gleube ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 15.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke. genau das wollte ich wissen.
ob ich Skalare benutzen darf. Ich dachte ich muss zweivektoren finden, Und mein Vektor mit linear kombination, OHNE SKALAR darstellen.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 So 15.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe es ja "ohne Skalare" dargestellt, einfach als:
$x=u+v$,
mit geeigneten $u,v$, so dass $f(u)=u$ und $f(v)=-v$.
Viele Grüße
Stefan
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, dann rechne doch einfach mal $f(u)$ und $f(v)$ aus. Du wirst feststellen, dass
