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Forum "Vektoren" - lineare abhängigkeit
lineare abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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lineare abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Di 27.05.2008
Autor: defjam123

Hey Leute,

hab eine Frage:
Sind 4 Vektoren eigentlich immer linear abhängig?

Gruss

        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Di 27.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo defjam,

> Hey Leute,
>  
> hab eine Frage:
>  Sind 4 Vektoren eigentlich immer linear abhängig?

Das hängt von dem Vektorraum ab, aus dem die Vektoren sind.

Ich vermute mal schwer, du meinst Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] ?

Dann ist eine Menge von 4 Vektoren in der Tat immer linear abhängig.

Im [mm] $\IR^3$ [/mm] enthält eine linear unabhängige Menge von Vektoren maximal 3 Vektoren, dh, jede Menge, die mehr als 3 Vektoren enthält, ist in jedem Falle linear abhängig

Im Allgemeinen stimmt die Aussage natürlich nicht, nimm zB den [mm] $\IR^5$ [/mm] her und schaue dir die Menge [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0\\0\\0},\vektor{0\\1\\0\\0\\0},\vektor{0\\0\\1\\0\\0},\vektor{0\\0\\0\\1\\0}\right\}$ [/mm] an.

Die ist mit Sicherheit linear unabhängig


>  
> Gruss  

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
lineare abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 27.05.2008
Autor: defjam123

danke für deine Hilfe!

Was ist mit $ [mm] \IR^3 [/mm] $ gemeint? und warum ist es dann nur linear Abhänigig wenn es mehr als $ [mm] \IR^3 [/mm] $ ist

Gruss

Bezug
                        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Di 27.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist der "ganz normale 3D-Raum" - der eukidische Vektorraum der Dimension 3

Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] haben 3 reelle Komponenten, sind also von der Gestalt [mm] $\vec{v}=\vektor{x\\y\\z}$, [/mm] wobei [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] sind


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
lineare abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Di 27.05.2008
Autor: defjam123

Danke

bin nicht so fit in diesem Thema.

wenn 4 Vektoren über R3 linear abhängig sind, dann bdeutet das, dass sie auf einer Ebene liegen oder?

Gruss

Bezug
                        
Bezug
lineare abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Di 27.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Danke
>  
> bin nicht so fit in diesem Thema.
>  
> wenn 4 Vektoren über R3 linear abhängig sind, dann bdeutet
> das, dass sie auf einer Ebene liegen oder?

nicht unbedingt, da gibt's mehrere Möglichkeiten

Ich versuche das mal an Bspen zu verdeutlichen:

Wir haben ne Menge mit 4 Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm]

Sagen wir (a) [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{0\\0\\1},\vektor{1\\2\\3}\right\}$ [/mm]

Dann ist die Menge, die aus den ersten drei Vektoren besteht, ersichtlich liear unabhängig. Die ersten 3 Vektoren spannen den ganzen Raum [mm] $\IR^3$ [/mm] auf. Der 4. Vektor [mm] $\vektor{1\\2\\3}$ [/mm] liegt in diesem Raum

Fall (b): [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0},\vektor{2\\1\\0},\vektor{4\\2\\0}\right\}$ [/mm]

Hier sind die beiden letzten Vektoren Vielfache voneinander, außerdem lassen sie sich als LK der ersten beiden Vektoren darstellen.

Es ist also nur die (Teil)menge der ersten beiden Vektoren linear unabhängig

Die beiden spannen eine Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, und zwar die xy-Ebene

Die anderen beiden Vektoren liegen in dieser Ebene

Fall (c): [mm] $M=\left\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{2\\0\\0},\vektor{3\\0\\0},\vektor{4\\0\\0}\right\}$ [/mm]

Hier sind alle Vektoren Vielfache des ersten (bzw. voneinander)

Der erste spannt eine Gerade im [mm] $\IR^3$, [/mm] also im Raum auf, die durch $U=(0,0,0)$, also den Ursprung geht

Die anderen 3 Vektoren liegen alle auf dieser Geraden

Genauso gut kannst du sagen, dass der 4te Vektor diese (dieselbe) Gerade aufspannt und die ersten 3 Vektoren auf dieser Geraden liegen

Jeder dieser 4 Vektoren spannt dieselbe Gerade im Raum auf, und die anderen 3 liegen jeweils auf dieser Geraden



LG

schachuzipus

>  
> Gruss  


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