lineare abhängigkeit bei det < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie kann ich beweisen, dass Vektoren immer linear abhängig sind, wenn die Determinante Null ist? Mein Gedanke wär gewesen, dass man die Vektoren nach Gauß ja immer so auflösen kann, dass nur Nullen in einer Zeile sind und die würde ja dazu führen, dass die ganze Determinante Null wäre.
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Hallo!
Ja, genau das ist der Beweis. Bei lin. abhängigen Vektoren läßt sich ein Vektor durch die anderen darstellen. Da du in der Matrix Vielfache einer Spalte zu anderen Spalten hinzufügen oder abziehen kannst, kannst du so eine Null-Spalte erzeugen (oder eben das gleiche mit Zeilen...).
Nebenbei: Die Determinante gibt das Volumen wieder, das die Spaltenvektoren aufspannen. In 2D ist das die Fläche eines Parallelogramms, in 3D ein so genannter Spat. Wenn 3 Vektoren in 3D l.a. sind, dann liegen sie in einer Ebene, und das Volumen ist dann auch 0.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:58 So 21.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Damit hat man doch aber nur gezeigt: [mm] v_1,...,v_n [/mm] linear abhängig [mm] \Rightarrow \det(v_1,...,v_n)=0.
[/mm]
Was ist mit der Umkehrung, nach der ja hier gefragt war?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 22.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Damit hat man doch aber nur gezeigt: [mm]v_1,...,v_n[/mm] linear
> abhängig [mm]\Rightarrow \det(v_1,...,v_n)=0.[/mm]
> Was ist mit der
> Umkehrung, nach der ja hier gefragt war?
>
> Gruß, Robert
ein Versuch zu später Stunde 
Wenn mich jetzt nicht alles täuscht, gilt doch [mm] A\Rightarrow{B}, [/mm] wenn aus [mm] \overline{B}\Rightarrow{\overline{A}} [/mm] folgt (aus nicht B folgt nicht A).
Also, nehmen wir an, [mm] (v_1,v_2,...,v_n) [/mm] seien linear unabhängig. Das heißt, [mm] Rang(v_1,v_2,...,v_n)=n. [/mm] Es exisitiert also eine Matrix [mm] C=Z_m*....*Z_1\in\IR^{n\times{n}}, [/mm] mit [mm] Z_i [/mm] i=1,...,m Elementarmatrizen (für Elementarmatrizen gilt [mm] det(Z_i)=1 [/mm] und somit auch [mm] det(C)=det(Z_m*....*Z_1)=det(Z_1)\cdot{}det(Z_2)*...*det(Z_m)=1!), [/mm] sodass [mm] B*C=\pmat{ \lambda_1 & & & & 0\\ & \lambda_2 & & & \\& &\ddots & & \\& & & \ddots& \\0& & & & \lambda_n }=:D(iagonalmatrix) [/mm] mit [mm] \lambda_j\not={0} [/mm] für j=1,...,n. (nichts anderes als Gauß!)
Das heißt: [mm] det(B)=det(B\cdot{C}) [/mm] (wegen Invarianz unter elementarer Zeilen-/Spaltentransformation)
[mm] =det(D)=det\pmat{ \lambda_1 & & & & 0\\ & \lambda_2 & & & \\& &\ddots & & \\& & & \ddots& \\0& & & & \lambda_n }=\lambda_1*\lambda_2*...*\lambda_n\not={0}, [/mm] da [mm] \lambda_j\not={0} [/mm] nach Voraussetzung.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Sieht richtig aus... nur woher weißt du [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] linear unabhängig [mm] $\Rightarrow\operatorname{Rang}(v_1,...,v_n)=n$ [/mm] bzw. wie definierst du den Rang überhaupt?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mo 22.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Sieht richtig aus... nur woher weißt du [mm]v_1,...,v_n[/mm] linear
> unabhängig [mm]\Rightarrow\operatorname{Rang}(v_1,...,v_n)=n[/mm]
> bzw. wie definierst du den Rang überhaupt?
>
> Gruß, Robert
du kannst dir die Vektoren als Matrix schreiben. Und wenn die Vektoren linear unabhängig sind, weißt du, dass die Matrix aus den Vektoren [mm] v_1,...,v_n [/mm] vollen Rang hat.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:13 Mo 22.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> du kannst dir die Vektoren als Matrix schreiben. Und wenn
> die Vektoren linear unabhängig sind, weißt du, dass die
> Matrix aus den Vektoren [mm]v_1,...,v_n[/mm] vollen Rang hat.
Das ist aber schon ne ziemlich starke Aussage die du da verwendest. Es wäre wesentlich schöner wenn man die Behauptung nur aus der Definition der Determinante ableiten könnte. Gilt die Behauptung nicht ganz allgemein für alternierende k-Formen ungleich 0? Also für alle [mm] $\omega\in\operatorname{Alt}^kV$ [/mm] mit [mm] $\omega\ne [/mm] 0$ gilt [mm] $\omega(v_1,...,v_k)=0\Rightarrow v_1,...,v_k$ [/mm] linear abhängig...?
Gruß, Robert
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