lineare unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweisen oder widerlegen Sie: Die Elemente [mm] v_1, [/mm] . . . , [mm] v_n [/mm] des k-Vektorraums V sind linear unabhängig.
b) k = [mm] \IR, [/mm] V = [mm] \IR^3; v_1 [/mm] = (0, 1, 2), [mm] v_2 [/mm] = (1, 1, 2), [mm] v_3 [/mm] = (2, 1, 0) |
| Aufgabe 2 | Beweisen oder widerlegen Sie: Die Elemente [mm] v_1, [/mm] . . . , [mm] v_n [/mm] des k-Vektorraums V sind linear unabhängig.
wir haben in der letzten vorlesung mit linearer unabhängigkeit angefangen und ich weiß nicht so recht ob ich das richtig verstanden habe - bzw. bei einigen aufgaben habe ich auch noch probleme. ich poste die mal einzeln.
b) I 0 = b + 2c
II 0 = a + b + c
III 0 = 2a + 2b
I -> b = -2c
III -> a = 2c
II -> c = 0 -> a = 0 -> b = 0
die vektoren sind linear unabhängig
f) k= [mm] \IQ [/mm] ; [mm] V=\IR; v_1=1, v_2= \wurzel{2}
[/mm]
0 = a + [mm] \wurzel{2}b
[/mm]
ist linear unabhängig, da für [mm] k=\IQ [/mm] kein b außer 0 gefunden werden kann, für das [mm] \wurzel{2}b [/mm] = 0 gilt. damit muss auch a=0 gelten
jetzt gehts bei mir schon mit den riesen problemen los:
a) k = [mm] \IR, [/mm] V = [mm] \IR^2; v_1=(1,2), v_2=(3,1), v_3=(1,-1)
[/mm]
I 0=a+3b+c
II0=2a+b-c
c=2a+b
a=-4/3 b
und dann: 0=-8/3 b + b - b +8/3 b -> 0=0
-> was sagt mir das?????
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> Beweisen oder widerlegen Sie: Die Elemente [mm]v_1,[/mm] . . . , [mm]v_n[/mm]
> des k-Vektorraums V sind linear unabhängig.
> b) k = [mm]\IR,[/mm] V = [mm]\IR^3; v_1[/mm] = (0, 1, 2), [mm]v_2[/mm] = (1, 1, 2),
> [mm]v_3[/mm] = (2, 1, 0)
> Beweisen oder widerlegen Sie: Die Elemente [mm]v_1,[/mm] . . . ,
> [mm]v_n[/mm] des k-Vektorraums V sind linear unabhängig.
> wir haben in der letzten vorlesung mit linearer
> unabhängigkeit angefangen und ich weiß nicht so recht ob
> ich das richtig verstanden habe - bzw. bei einigen aufgaben
> habe ich auch noch probleme. ich poste die mal einzeln.
>
> b) I 0 = b + 2c
> II 0 = a + b + c
> III 0 = 2a + 2b
> I -> b = -2c
> III -> a = 2c
> II -> c = 0 -> a = 0 -> b = 0
> die vektoren sind linear unabhängig
Ja.
>
> f) k= [mm]\IQ[/mm] ; [mm]V=\IR; v_1=1, v_2= \wurzel{2}[/mm]
> 0 = a +
> [mm]\wurzel{2}b[/mm]
> ist linear unabhängig, da für [mm]k=\IQ[/mm] kein b außer 0
> gefunden werden kann, für das [mm]\wurzel{2}b[/mm] = 0 gilt. damit
> muss auch a=0 gelten
Ja, im Prinzip so wie Du sagst.
Ich würd's nur etwas anders schreiben: entweder ist b=0, dann ist auch a=0.
Der Fall [mm] b\not=0 [/mm] kann nicht eintreten, sonst wäre [mm] \wurzel{2}=-\bruch{a}{b}\in \IQ, [/mm] was jedoch nicht der Fall ist.
>
> jetzt gehts bei mir schon mit den riesen problemen los:
> a) k = [mm]\IR,[/mm] V = [mm]\IR^2; v_1=(1,2), v_2=(3,1), v_3=(1,-1)[/mm]
> I
> 0=a+3b+c
> II0=2a+b-c
> c=2a+b
> a=-4/3 b
>
> und dann: 0=-8/3 b + b - b +8/3 b -> 0=0
> -> was sagt mir das?????
Es sagt Dir, daß Dein Gleichungssystem auch andere Lösungen hat als a=b=c=0, z.B. b=1, a=-4/3 , c=2*(4/3)+1.
Also sind dei Vektoren nicht linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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reicht es ein gegenbeispiel anzugeben um lineare abhängigkeit zu zeigen (praktisch gegenbeweis)?
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> reicht es ein gegenbeispiel anzugeben um lineare
> abhängigkeit zu zeigen (praktisch gegenbeweis)?
Ja.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | c) k = [mm] \IC, [/mm] V= [mm] \IC²; v_1=(1,-i), v_2=(i,1), v_3=(0,1)
[/mm]
d) k = [mm] \IR, [/mm] V= [mm] \IR^3; v_1=(1,1,0), v_2=(0,0,0), v_3=(0,1,1)
[/mm]
e) k = [mm] \IR, [/mm] V= [mm] C^0(\IR); v_1=cosx, v_2=x², v_2=sinx
[/mm]
g) k = [mm] \IQ, [/mm] V= [mm] \IR; v_1=1, v_2=\wurzel{2}; v_3=1/\wurzel{2} [/mm] |
c)
I 0=a+ib
II 0=-ia + b + c
ich denke aus I folgt a,b=0 und damit muss auch c=0 sein. aber mit den komplexen zahlen komm ich überhaupt nicht klar und deswegen bin ich mir einfach total unsicher.
d)
I 0 = a
II 0 = a+c
III0 = c
da fällt b ja völlig raus und deswegen denke ich dass es egal ist welchen wert b hat, solange a,c=0 sind. damit wäre es linear abhängig - kann man das so machen????
e) was heißt [mm] C^0(\IR)??? [/mm]
b muss ja immer 0 sein, und aus cosx + sinx kann nie 0 kommen, damit müssen a,b,c = 0 sein
g) mit [mm] \wurzel{2} [/mm] erweitert:
0 = [mm] \wurzel{2}a [/mm] + 2b + c
für z.b. a=0, b=1, c= -2 ist die aussage wahr. damit ist sie linear abhängig
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> c) k = [mm]\IC,[/mm] V= [mm]\IC²; v_1=(1,-i), v_2=(i,1), v_3=(0,1)[/mm]
> d) k
> = [mm]\IR,[/mm] V= [mm]\IR^3; v_1=(1,1,0), v_2=(0,0,0), v_3=(0,1,1)[/mm]
> e)
> k = [mm]\IR,[/mm] V= [mm]C^0(\IR); v_1=cosx, v_2=x², v_2=sinx[/mm]
> g) k =
> [mm]\IQ,[/mm] V= [mm]\IR; v_1=1, v_2=\wurzel{2}; v_3=1/\wurzel{2}[/mm]
> c)
> I 0=a+ib
> II 0=-ia + b + c
>
> ich denke aus I folgt a,b=0 und damit muss auch c=0 sein.
> aber mit den komplexen zahlen komm ich überhaupt nicht klar
> und deswegen bin ich mir einfach total unsicher.
Hier mußt Du beachten, daß der Skalarenkörper [mm] \IC [/mm] ist. Es ist [mm] v_1=-iv_2
[/mm]
>
> d)
> I 0 = a
> II 0 = a+c
> III0 = c
>
> da fällt b ja völlig raus und deswegen denke ich dass es
> egal ist welchen wert b hat, solange a,c=0 sind. damit wäre
> es linear abhängig - kann man das so machen????
Deine Begründung ist richtig, aber ich würde es anders aufschreiben.
Z.B. so:
es ist [mm] 0*v_1+5*v_2+0*v_3=v_2=(0,0,0), [/mm] also nicht linear unabhängig.
>
> e) was heißt [mm]C^0(\IR)???[/mm]
Das sind die stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
> b muss ja immer 0 sein,
Warum?
und aus cosx + sinx kann nie 0
> kommen,
Doch: für x=135°.
>damit müssen a,b,c = 0 sein
Das stimmt zwar, aber Du mußt es anders begründen:
Sei für alle [mm] x\in \IR: 0=acosx+bx^2+csinx.
[/mm]
Jetzt überlege Dir, daß das dann auch für x=0, [mm] x=\pi [/mm] und [mm] x=\pi/2 [/mm] gilt und zieh Deine Schlüsse.
>
> g) mit [mm]\wurzel{2}[/mm] erweitert:
> 0 = [mm]\wurzel{2}a[/mm] + 2b + c
Das würde ich tunlichst weglassen, es ist (bestenfalls) mißverständlich.
> für z.b. a=0, b=1, c= -2 ist die aussage wahr. damit ist
> sie linear abhängig
Ja. Schreib so: Es ist [mm] 0=0*v_1+1*v_2-2v_3
[/mm]
Gruß v. Angela
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