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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Di 15.01.2013 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Satz 10.3:
Die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] heißen linear unabhängig genau dann, wenn sich jeder Vektor aus Span [mm] (v_{1},...,v_{r}) [/mm] als Linearkombination der Vektoren
[mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] darstellen lässt. |
Der Beweis aus dem Skript sieht wie folgt aus:
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Angenommen [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] sind linear abhängig. Dann lässt sich der Nullvektor 0 [mm] \in Span(v_{1},...,v_{r}) [/mm] auf mindestens 2 verschiedene Weisen als Linearkombination der Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] schreiben.
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] seien linear unabhängig. Angenommen, wir hätten für den Vektor v [mm] \in Span(v_{1},...,v_{r}) [/mm] die Darstellungen
[mm] v=\mu v_{1}+...+\mu_{r}v_{r}
[/mm]
[mm] v=\lambda v_{1}+...+\lambda_{r}v_{r}.
[/mm]
Durch Subtraktion der Gleichungen folgt
[mm] 0=(\lambda_{1}-\mu_{1})v_{1}+...+(\lambda_{r}-\mu_{1})v_{r}.
[/mm]
Da S linear unabhängig ist, ergibt sich
[mm] \lambda_{1}-\mu_{1}=...=\lambda_{r}-\mu_{r},
[/mm]
also [mm] \lambda_{1}=\mu_{1}=...=\lambda_{r}=\mu_{r}.
[/mm]
Meine Frage bezieht sich auf den ersten Teil des Beweises. Den zweiten Teil verstehe ich vollkommen. Ist der erste Teil eine Art Gegenbeweis? Ich komme nicht dahinter, wie die Struktur des Beweises aufgebaut ist. Der zweite Teil ist für mich die Rückrichtung des Beweises, wo von der Bedingung, dass die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] linear unabhängig seien, ausgegangen wird und die Darstellbarkeit der Vektoren aus [mm] Span(v_{1},...,v_{r}) [/mm] durch die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] gezeigt wird.
Für mich ist die Hinrichtung ... als eine Art Gegenbeispiel/Gegenbeweis ... suspekt.
Ich hoffe ihr könnt mir die Struktur des Beweises näher bringen.
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Mi 16.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich denke, in dem Satz fehlt ein alles entscheidendes Wort: "eindeutig!"
Die Linearkombination muss eindeutig sein!
Dir ist die "[mm]\Leftarrow[/mm]"-Richtung schleierhaft, wenn ich dich richtig verstehe.
Die Folgerung wird indirekt bewiesen:
Für allgemeine Aussagen a und b sind
[mm]b\Rightarrow{a}[/mm] und [mm]\textrm{nicht}\,a\Rightarrow{\textrm{nicht}\,b}[/mm] äquivalent.
Sei nun
a:= Die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] sind linear abhängig
und
b:= jeder Vektor aus Span [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] lässt als eindeutige Linearkombination der Vektoren [mm]v_{1},...,v_{r}[/mm] darstellen.
Dein Prof. hat also angenommen:
Die Vektoren [mm]v_1,\ldots,v_n[/mm] seien linear abhängig, d.h. nicht a.
Jetzt hattet ihr sicher schon gezeigt, dass, wenn die Vektoren linear abhängig sind, die Linearkombination
[mm]0=\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_nv_n[/mm]
nicht eindeutig ist (d.h. nicht b). Damit ist diese Richtung fertig.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 16.01.2013 | | Autor: | zjay |
pardon, ich hab tatsächlich das wort eindeutig vergessen.
ah, genau das meinte ich mit dem begriff "gegenbeweis".
diese art der beweisführung wird immer dann benutzt, wenn es leichter ist das gegenteil, sprich aus "nicht a" folgt "nicht b" zu beweisen, oder?
Ist es in diesem Fall so viel schwieriger zu beweisen, dass, wenn ein Vektor v [mm] \in Span(v_{1},...,v_{r}) [/mm] sich in eindeutig darstellbarer Weise als Linearkombination der Vektoren [mm] (v_{1},...,v_{r}) [/mm] darstellen lässt, die Vektoren [mm] (v_{1},...,v_{r}) [/mm] linear unabhängig seien? also quasi aus "a" folgt "b" zu beweisen?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> pardon, ich hab tatsächlich das wort eindeutig vergessen.
>
> ah, genau das meinte ich mit dem begriff "gegenbeweis".
>
> diese art der beweisführung wird immer dann benutzt, wenn
> es leichter ist das gegenteil, sprich aus "nicht a" folgt
> "nicht b" zu beweisen, oder?
>
> Ist es in diesem Fall so viel schwieriger zu beweisen,
> dass, wenn ein Vektor v [mm]\in Span(v_{1},...,v_{r})[/mm] sich in
> eindeutig darstellbarer Weise als Linearkombination der
> Vektoren [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] darstellen lässt, die Vektoren
> [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] linear unabhängig seien? also quasi aus
> "a" folgt "b" zu beweisen?
>
> mfg,
>
> zjay
Wenn sich jeder (!) Vektor $ [mm] \in Span(v_{1},...,v_{r}) [/mm] $ in eindeutiger Weise als LK der Vektoren [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] darstellen lässt, so gilt das auch für den Nullvektor !
Damit folgt aus [mm] 0=t_1v_1+...+t_rv_r (t_1,...,t_r [/mm] Skalare): [mm] t_1=...=t_r=0.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mi 16.01.2013 | | Autor: | zjay |
vielen dank. diesen beweis finde ich viel einprägsamer als den aus dem skript.
grundsätzlich muss aber von beweis zu beweis unterschieden werden, ob da alle beweisetechniken gleichermaßen praktikabel sind, oder?
mfg,
zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 18.01.2013 | | Autor: | zjay |
Satz 10.2
Ist r > 2, so sind die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] genau dann linear
abhangig, wenn mindestens einer davon als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann.
Bemerkung 10.1
Aus Satz 10.2 folgt, dass Satz 4.2 auch in einem allgemeinen
K-Vektorraum gilt. Wir erhalten als Folgerung aus Satz 10.2:
(a) Eine Menge, die den Nullvektor enthalt, ist linear abhangig.
(b) Zwei Vektoren sind genau dann linear abhangig, wenn einer der Vektoren
ein skalares Vielfaches des anderen ist.
Meine Frage: widerspricht deine Annahme, dass der Nullvektor Element von Span{ [mm] v_{1},...,v_{r} [/mm] } nicht der linearen Uabhängigkeit oder was verstehe ich gerad falsch?
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Es ist 0 [mm] \notin \{v_{1},...,v_{r}\}, [/mm]
aber 0 [mm] \in [/mm] Span [mm] \{v_{1},...,v_{r} \}
[/mm]
FRED
>
> mfg,
>
> zjay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Fr 18.01.2013 | | Autor: | zjay |
ach, ich vergaß. danke :D
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