linearer Code 1...1 im GF(2) < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 12.05.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Es sei C [mm] \subseteq GF(2)^{n} [/mm] ein linearer Code mit 1...1 [mm] \in [/mm] C.
Zeigen Sie:
Zeigen Sie, daß für jedes s [mm] \le [/mm] n die Anzahl der Codeworte vom Gewicht s gleich der Anzahl der Codeworte vom Gewicht n - s ist.
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Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich mich mal versucht.
Und zwar habe besteht der Code aus lauter 1, so wie ich das mit 1...1 verstehe. Das heißt laut Def. ist die Länge des Codes gleich dem Gewicht.
So und dann habe ich allgemein die Codewörter aufgeschrieben mit Länge n, s und n-s.
Und dann habe ich gefolgert, dass jedes Coderwort unterschiedlihc ist und im COde genau einmal vorkommt.
Die Anzahl bestimmten Gewichts ist also genau 1.
Dann habe ich auch nohc ein konkretes Zahlenbeispiel gemacht.
Ist das korrekt? Oder totaler Unsinn?
Wäre dankbar für ein Feedback!
MFG
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 12.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Alexander!
> Es sei C [mm]\subseteq GF(2)^{n}[/mm] ein linearer Code mit 1...1
> [mm]\in[/mm] C.
>
> Zeigen Sie:
> Zeigen Sie, daß für jedes s [mm]\le[/mm] n die Anzahl der Codeworte
> vom Gewicht s gleich der Anzahl der Codeworte vom Gewicht n
> - s ist.
>
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich mich mal versucht.
>
> Und zwar habe besteht der Code aus lauter 1, so wie ich das
> mit 1...1 verstehe.
Nein: das Element aus [mm] $GF(2)^n$, [/mm] welches nur aus 1en besteht, ist ein Element des Codes. Der Code besteht noch aus i.A. viel mehr Elementen... (Etwa immer auch aus dem Element, was nur aus 0en besteht.)
Definiere doch [mm] $C_0 [/mm] := [mm] \{ c \in C \mid w(c) = s \}$ [/mm] und [mm] $C_1 [/mm] := [mm] \{ c \in C \mid w(c) = n - s \}$, [/mm] wobei $w(c)$ das Gewicht des Codeworts $c$ ist. Jetzt musst du eine Bijektion [mm] $\varphi [/mm] : [mm] C_0 \to C_1$ [/mm] angeben; daraus folgt dann, dass die Anzahl der Codewoerter mit Gewicht $s$ gleich der Anzahl der Codewoerter mit Gewicht $n - s$ ist.
Sei dazu [mm] $\hat{c} [/mm] := [mm] 1\cdot1 \in [/mm] C$ das Element aus $C$, welches nur aus 1en besteht. Da $C$ linear ist, ist zu jedem $c [mm] \in [/mm] C$ auch $c + [mm] \hat{c} \in [/mm] C$. Ueberleg dir mal, wie $c + [mm] \hat{c}$ [/mm] aussieht und was du ueber $w(c + [mm] \hat{c})$ [/mm] im Vergleich zu $w(c)$ sagen kannst.
LG Felix
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